|
Feladat: |
F.3142 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Brezovich László , Devecsery András , Fejérvári Bence , Jakabfy Tamás , Juhász András , Katona Zsolt , Nyul Gábor , Páles Csaba , Szalai-Dobos András , Terék Zsolt , Várkonyi Péter , Végh László |
Füzet: |
1997/május,
287 - 288. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Műveletek polinomokkal, Polinomok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/november: F.3142 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen egy -edfokú polinom. Ekkor foka . Ha a polinom foka , úgy foka , amiből . esetén -nel osztva értékére 2 adódik. Így a polinomot alakban kell keresni, ahol . Tegyük fel, hogy az polinomban , de és : együtthatója az polinomban , az polinomban 0, mert -edfokú. Azaz a polinomban ez az együttható lesz. De , és itt együtthatója 0, mert . Ekkor , ami ellentmond annak, hogy az , , számok között nincs nulla. Vagyis esetén csak alakú lehet. Ha , úgy , és ez a polinom mindig megfelel a feladatnak, ha a polinomot -nak választjuk. Meg kell még vizsgálni azt az esetet, amikor , ahol . Ekkor | | Így pontosan akkor, ha , , . Az első egyenletet -tel osztva adódik, hogy . Behelyettesítve ezt a második egyenletbe: , ahonnan . Nézzük végül a harmadik egyenletet: | | Így a | | polinomra . Tehát a feladat megoldása:
Fejérvári Bence (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján |
|
|