Kezdőlap


Feladat:	F.3142	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Brezovich László , Devecsery András , Fejérvári Bence , Jakabfy Tamás , Juhász András , Katona Zsolt , Nyul Gábor , Páles Csaba , Szalai-Dobos András , Terék Zsolt , Várkonyi Péter , Végh László
Füzet:	1997/május, 287 - 288. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/november: F.3142

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{0}$ egy $n$ -edfokú polinom. Ekkor $p (f (x)) = f (x^{2}) = a_{n} x^{2 n} + a_{n - 1} x^{2 n - 2} + ... + a_{0}$ foka $2 n$ . Ha a $p (t)$ polinom foka $z$ , úgy $p (f (x))$ foka $z \cdot n$ , amiből $z \cdot n = 2 n$ . $n \geq 1$ esetén $n$ -nel osztva $z$ értékére 2 adódik. Így a $p (t)$ polinomot $a t^{2} + b t + c$ alakban kell keresni, ahol $a \neq 0$ .
Tegyük fel, hogy az $f (x)$ polinomban $a_{n - 1} = a_{n - 2} = ... = a_{k + 1} = 0$ , de $a_{k} \neq 0$ és $k \geq 1$ :

\begin{matrix} f (x) = a_{n} x^{n} + a_{k} x^{k} + ... + a_{0} \end{matrix}

x^{n + k}

együtthatója az

f^{2} (x)

polinomban

2 a_{n} a_{k}

, az

f (x)

polinomban 0, mert

f (x)

n

-edfokú. Azaz a

p (f (x)) = a f^{2} (x) + b f (x) + c

polinomban ez az együttható

2 a a_{n} a_{k}

lesz. De

f^{2} (x) = a_{n} x^{2 n} + a_{k} x^{2 k} + ...

, és itt

x^{n + k}

együtthatója 0, mert

2 n > n + k > 2 k

. Ekkor

0 = 2 a a_{n} a_{k}

, ami ellentmond annak, hogy az

a

a_{n}

a_{k}

számok között nincs nulla.
Vagyis

n \geq 0

esetén

f (x)

csak

a_{n} x^{n} + a_{0}

alakú lehet. Ha

n = 0

, úgy

f (x) = a_{0}

, és ez a polinom mindig megfelel a feladatnak, ha a

p (t)

polinomot

a_{0}

-nak választjuk.
Meg kell még vizsgálni azt az esetet, amikor

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{0}

, ahol

a_{n} \neq 0

. Ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} p (f (x)) & = a {(a_{n} x^{n} + a_{0})}^{2} + b (a_{n} x^{n} + a_{0}) + c = \\ = a a_{n}^{2} x^{2 n} + (2 a a_{0} a_{n} + b a_{n}) x^{n} + a a_{0}^{2} + b a_{0} + c, \\ f (x^{2}) & = a_{n} x^{2 n} + a_{0} . \end{matrix} \end{matrix}

Így

f (x^{2}) = p (f (x))

pontosan akkor, ha

a a_{n}^{2} = a_{n}

2 a a_{0} a_{n} + b a_{n} = 0

a a_{0}^{2} + b a_{0} + c = a_{0}

. Az első egyenletet

a_{n}^{2}

-tel osztva adódik, hogy

a = \frac{1}{a_{n}}

. Behelyettesítve ezt a második egyenletbe:

2 a_{0} + b a_{n} = 0

, ahonnan

b = - \frac{2 a_{0}}{a_{n}}

. Nézzük végül a harmadik egyenletet:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{a_{n}} a_{0}^{2} - \frac{2 a_{0}^{2}}{a_{n}} + c = a_{0}, ebből c = \frac{a_{0}^{2}}{a_{n}} + a_{0} . \end{matrix} \end{matrix}

Így a

\begin{matrix} \begin{matrix} p (t) = \frac{1}{a_{n}} t^{2} - \frac{2 a_{0}}{a_{n}} t + \frac{a_{0}^{2}}{a_{n}} + a_{0} \end{matrix} \end{matrix}

polinomra

p (f (x)) = f (x^{2})

.
Tehát a feladat megoldása:

\begin{matrix} f (x) = a_{n} x^{n} + a_{0}, ahol n \geq 0. \end{matrix}

Fejérvári Bence (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján