Kezdőlap


Feladat:	F.3132	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baranyi Ernő , Megyeri Csaba
Füzet:	1997/május, 286 - 287. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/szeptember: F.3132

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessünk be új ismeretlent; legyen $a = \sqrt[3]{x + 3}$ . Ekkor a fenti egyenlőtlenség $\sqrt[3]{5 (a^{3} - 3) + 1} - a \leq 1$ alakban írható. Ezt rendezve kapjuk:

\begin{matrix} \sqrt[3]{5 (a^{3} - 3) + 2} \leq a + 1. \end{matrix}

Köbre emelve és rendezve:

\begin{matrix} \begin{matrix} 5 (a^{3} - 3) + 2 \leq a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1, \\ 4 a^{3} - 3 a^{2} - 3 a - 14 \leq 0. \end{matrix} \end{matrix}

Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldásai azonosak az eredetiével, mivel a köbreemelés ekvivalens átalakítás. Az egyenlőtlenség bal oldalán álló kifejezést szorzattá alakítva adódik:

\begin{matrix} (a - 2) \cdot (4 a^{2} + 5 a + 7) \leq 0. \end{matrix}

A másodfokú tényező értéke mindig pozitív, mert diszkriminánsa negatív. Így a szorzat akkor és csak akkor nem nagyobb mint nulla, ha

a - 2 \leq 0

, azaz

x \leq 5

Baranyi Ernő (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Ref. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Többen egyenlőtlenség helyett egyenlőségre oldották meg a feladatot. Abból azonban, hogy egyenlőség

x = 5

-nél van, nem következik, hogy az egyenlőtlenség megoldása

x \leq 5

. Sajnos a függvény nem monoton, ezért többek indoklása helytelen vagy hiányos volt. Sokan felrajzolták a függvényt, azonban teljes függvényvizsgálatot (ami ez esetben a bizonyításhoz kellett) kevesen végeztek.