Feladat: F.3129 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Győri Nikolett ,  Horváth Gábor ,  Szabó Jácint 
Füzet: 1997/február, 85 - 87. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek szerkesztése, Projektív geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/május: F.3129

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megoldáshoz felhasználjuk Desargues ,,két háromszög'' tételét. A tétel megfogalmazásához szükségünk lesz a következő meghatározásokra:
1. Az ABC és az A'B'C' háromszögek a D pontra nézve perspektívek, ha az AA', BB', CC' egyenesek a D ponton mennek át.
2. Az ABC és az A'B'C' háromszögek a d egyenesre nézve perspektívek, ha az AB, A'B'; BC, B'C'; CA, C'A' egyenespárok metszéspontja a d egyenesre illeszkedik. (Itt megengedjük, hogy valamelyik egyenespár a d egyenessel párhuzamos legyen.) Ezek után Desargues tétele: Ha az ABC és A'B'C' háromszögek egy pontra nézve perspektívek, akkor egy egyenesre nézve is perspektívek, és megfordítva: ha tengelyesen perspektívek, akkor pontra nézve is azok. A tétel bizonyítása megtalálható a következő könyvekben: H. S. M. Coxeter‐S. L. Greitzer: Az újrafelfedezett geometria; Reiman István: A geometriai és határterületei (Gondolat Kiadó, 1986).
Tekintsük a feladatot megoldottnak. Feltesszük, hogy e, f, g a szerkesztendő háromszög síkjában van. (Egy ‐ nemcsak vonalzót használó ‐ szerkesztés található a Gy. 3068. példa megoldásában arra az itt meg nem engedett esetre is, amikor e, f és g nincs egy síkban.) Jelöljük az e, f, g félegyenesekre illeszkedő háromszögcsúcsokat rendre A, B, C-vel, a félegyenesek kezdőpontját D-vel, az AB, BC, CA oldalakra illeszkedő adott pontokat rendre P, Q, R-rel. Előfordulhat, hogy P, Q, R valamelyike illeszkedik e, f, g valamelyikére, vagy e, f, g közül kettő egy egyenesbe esik. Ezeket a triviális eseteket egyelőre figyelmen kívül hagyjuk. Húzzunk párhuzamost P-n át e-vel, Q-n át pedig g-vel. Az így kapott egyenesek az f félegyenest S1 és S2 pontokban metszik (1. ábra). Az S1 kezdőpontú, f-re illeszkedő félegyenes S1-től különböző pontja legyen B'. B' választása folytán B'P metszi e-t egy A', és B'Q metszi g-t egy C' pontban. A keletkezett A'B'C' háromszög a D pontra nézve perspektív ABC-vel, ezért Desargues tétele szerint tengelyesen is perspektív, a tengelye nyilván PQ. A tétel szerint a CA és C'A' egyenesek a PQ tengelyen metszik egymást, vagy párhuzamosak PQ-val. Ezért két esetet kell megkülönböztetnünk. Ha C'A' metszi PQ-t, a szerkesztést úgy végezhetjük el, hogy a fent leírt módon szerkesztünk egy A'B'C' háromszöget, megkeressük C'A' és PQ  X metszéspontját, és ezt összekötjük R-rel. Az XR egyenes kimetszi e-ből és g-ből az A, illetve C pontokat. Minden lépés egyélű vonalzóval végrehajtható, és a B csúcs is rögtön adódik. A szerkesztést a 2. ábrán mutatjuk be. A feladatnak akkor lesz pontosan egy megoldása, ha XR  e-t is, g-t is metszi. Az egyértelműség abból következik, hogy egy másik A''B''C'' háromszöggel próbálkozva, az perspektív lesz D-re nézve A'B'C'-vel, ezért tengelyesen is perspektívek lesznek PQ tengellyel, így az X pont egyértelmű, és vele együtt A és C is. A és B megszerkesztése után az ABC és A'B'C' perspektivitása alapján B is egyértelmű.
Hátravan még az az eset, amikor C'A' párhuzamos PQ-val. Ekkor a megoldást úgy kell befejeznünk, hogy R-en át párhuzamost szerkesztünk PQ-val, csak vonalzóval. A 3. ábrán láthatjuk, hogy a PQYZ trapéz PQ oldalának F felezőpontját hogyan szerkeszthetjük meg csak vonalzóval. Ugyanez az ábra azt is megmutatja, hogyan lehet a megfelezett PQ szakasszal pl. Y-on keresztül párhuzamost szerkeszteni vonalzóval. A megoldást úgy fejezhetjük be, hogy a PQ szakaszt a vele párhuzamos C'A' segítségével megfelezzük, majd az R ponton át ‐ R-nek pl. az Y szerepét adva ‐ PQ-val párhuzamost szerkesztünk. (Ha PQ=C'A' lenne, akkor pl. C' helyett a C'A' egyenes egy másik C'' pontjával szerkeszthetjük meg F-et.) A feladatnak most is pontosan egy megoldása lesz, ha az R-en át PQ-val húzott párhuzamos metszi az e és g félegyeneseket.
A megoldás elején említett speciális esetek a következőképpen alakulnak. Ha e, f, g közül semelyik kettő nem esik egy egyenesbe, és a különböző P, Q, R pontok valamelyike (esetleg több is) illeszkedik valamelyik egyenesre, akkor a megoldás ‐ ha létezik ‐ egyértelmű. Ha viszont P, Q, R közül kettő egybeesik, akkor a feladatnak végtelen sok megoldása van.
Hasonlóan vizsgálhatók azok az esetek, amikor e, f, g közül kettő egy egyenesbe esik (ez kétféleheteképpen lehetséges), és a P, Q, R pontok különbözőek vagy nem, illetve illeszkedik-e valamelyik pont valamelyik félegyenesre, vagy nem.