A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A megoldáshoz felhasználjuk Desargues ,,két háromszög'' tételét. A tétel megfogalmazásához szükségünk lesz a következő meghatározásokra: 1. Az és az háromszögek a pontra nézve perspektívek, ha az , , egyenesek a ponton mennek át. 2. Az és az háromszögek a egyenesre nézve perspektívek, ha az , ; , ; , egyenespárok metszéspontja a egyenesre illeszkedik. (Itt megengedjük, hogy valamelyik egyenespár a egyenessel párhuzamos legyen.) Ezek után Desargues tétele: Ha az és háromszögek egy pontra nézve perspektívek, akkor egy egyenesre nézve is perspektívek, és megfordítva: ha tengelyesen perspektívek, akkor pontra nézve is azok. A tétel bizonyítása megtalálható a következő könyvekben: H. S. M. Coxeter‐S. L. Greitzer: Az újrafelfedezett geometria; Reiman István: A geometriai és határterületei (Gondolat Kiadó, 1986). Tekintsük a feladatot megoldottnak. Feltesszük, hogy , , a szerkesztendő háromszög síkjában van. (Egy ‐ nemcsak vonalzót használó ‐ szerkesztés található a Gy. 3068. példa megoldásában arra az itt meg nem engedett esetre is, amikor , és nincs egy síkban.) Jelöljük az , , félegyenesekre illeszkedő háromszögcsúcsokat rendre , , -vel, a félegyenesek kezdőpontját -vel, az , , oldalakra illeszkedő adott pontokat rendre , , -rel. Előfordulhat, hogy , , valamelyike illeszkedik , , valamelyikére, vagy , , közül kettő egy egyenesbe esik. Ezeket a triviális eseteket egyelőre figyelmen kívül hagyjuk. Húzzunk párhuzamost -n át -vel, -n át pedig -vel. Az így kapott egyenesek az félegyenest és pontokban metszik (1. ábra). Az kezdőpontú, -re illeszkedő félegyenes -től különböző pontja legyen . választása folytán metszi -t egy , és metszi -t egy pontban. A keletkezett háromszög a pontra nézve perspektív -vel, ezért Desargues tétele szerint tengelyesen is perspektív, a tengelye nyilván . A tétel szerint a és egyenesek a tengelyen metszik egymást, vagy párhuzamosak -val. Ezért két esetet kell megkülönböztetnünk. Ha metszi -t, a szerkesztést úgy végezhetjük el, hogy a fent leírt módon szerkesztünk egy háromszöget, megkeressük és metszéspontját, és ezt összekötjük -rel. Az egyenes kimetszi -ből és -ből az , illetve pontokat. Minden lépés egyélű vonalzóval végrehajtható, és a csúcs is rögtön adódik. A szerkesztést a 2. ábrán mutatjuk be. A feladatnak akkor lesz pontosan egy megoldása, ha -t is, -t is metszi. Az egyértelműség abból következik, hogy egy másik háromszöggel próbálkozva, az perspektív lesz -re nézve -vel, ezért tengelyesen is perspektívek lesznek tengellyel, így az pont egyértelmű, és vele együtt és is. és megszerkesztése után az és perspektivitása alapján is egyértelmű. Hátravan még az az eset, amikor párhuzamos -val. Ekkor a megoldást úgy kell befejeznünk, hogy -en át párhuzamost szerkesztünk -val, csak vonalzóval. A 3. ábrán láthatjuk, hogy a trapéz oldalának felezőpontját hogyan szerkeszthetjük meg csak vonalzóval. Ugyanez az ábra azt is megmutatja, hogyan lehet a megfelezett szakasszal pl. -on keresztül párhuzamost szerkeszteni vonalzóval. A megoldást úgy fejezhetjük be, hogy a szakaszt a vele párhuzamos segítségével megfelezzük, majd az ponton át ‐ -nek pl. az szerepét adva ‐ -val párhuzamost szerkesztünk. (Ha lenne, akkor pl. helyett a egyenes egy másik pontjával szerkeszthetjük meg -et.) A feladatnak most is pontosan egy megoldása lesz, ha az -en át -val húzott párhuzamos metszi az és félegyeneseket. A megoldás elején említett speciális esetek a következőképpen alakulnak. Ha , , közül semelyik kettő nem esik egy egyenesbe, és a különböző , , pontok valamelyike (esetleg több is) illeszkedik valamelyik egyenesre, akkor a megoldás ‐ ha létezik ‐ egyértelmű. Ha viszont , , közül kettő egybeesik, akkor a feladatnak végtelen sok megoldása van. Hasonlóan vizsgálhatók azok az esetek, amikor , , közül kettő egy egyenesbe esik (ez kétféleheteképpen lehetséges), és a , , pontok különbözőek vagy nem, illetve illeszkedik-e valamelyik pont valamelyik félegyenesre, vagy nem.
|