Kezdőlap


Feladat:	F.3128	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Gerő Tamás Miklós , Szabó Jácint , Vörös Zoltán
Füzet:	1997/január, 30 - 31. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Másodfokú függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/május: F.3128

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először megmutatjuk, hogy feltételeink mellett

\begin{matrix} 4 < \frac{{(a + b + c)}^{2}}{b c} \leq 9. \end{matrix}

(1)

\frac{{(a + b + c)}^{2}}{b c} > \frac{{(b + c)}^{2}}{b c} \geq \frac{4 b c}{b c} = 4

nyilvánvaló egyenlőtlenségekből ‐ ahol a második lépésben felhasználtuk a számtani és mértani közép közötti összefüggést ‐ következik a bal oldali egyenlőtlenség.
A feltételek szerint

0 < a + b + c < 2 b + c

, és így

\begin{matrix} \frac{{(a + b + c)}^{2}}{b c} \leq \frac{{(2 b + c)}^{2}}{b c} = \frac{4 b^{2} + 4 b c + c^{2}}{b c} = 9 + \frac{4 b^{2} - 5 b c + c^{2}}{b c} = 9 + \frac{(4 b - c) (b - c)}{b c} . \end{matrix}

(2)

Mivel

b \leq c

és

a + b > c

, érvényes a következő:

4 b - c > 2 b - c \geq a + b - c > 0

.

Ezért

(4 b - c) (b - c) \leq 0

, és így (2)-ből

\frac{{(a + b + c)}^{2}}{b c} \leq 9

. Ezzel (1)-et igazoltuk.
Megmutatjuk, hogy a vizsgált kifejezés minden

4

-nél nagyobb, de

9

-nél nem nagyobb értéket fölvesz. Legyen

b = c = 1

, és tekintsük az

f (a) = \frac{{(a + b + c)}^{2}}{b c} = {(a + 2)}^{2}

kifejezést. Ha

0 < a \leq 1

, akkor

a \leq b \leq c

, és a háromszög-egyenlőtlenségek is teljesülnek. Az

f (a) = {(a + 2)}^{2}

függvény folytonos, a

[0; 1]

intervallumon szigorúan monoton,

f (0) = 4

f (1) = 9

, ezért ez a függvény a

] 0; 1]

intervallumon minden

4

-nél nagyobb és

9

-nél nem nagyobb értéket fölvesz. Az

\frac{{(a + b + c)}^{2}}{b c}

kifejezés értékkészlete tehát a

] 4; 9]

intervallum.

Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., III.o.t.)