Feladat: F.3127 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Kocsis Zoltán ,  Rudolf Gábor ,  Terék Zsolt 
Füzet: 1997/január, 29 - 30. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kör geometriája, Lefedések, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/május: F.3127

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először megmutatjuk, hogy két kör nem elég a lefedéshez. Egy 1-nél kisebb sugarú kör, ha két pontban metszi az egységkört, kerületének kevesebb, mint a felét tudja lefedni, hiszen a két kör metszéspontjainak távolsága kisebb az egységkör átmérőjénél. Ha viszont a két (egymást nem tartalmazó) körnek legfeljebb egy közös pontja van, akkor a kisebb kör legfeljebb egy pontot fed le.
Három kör viszont már elegendő. Az egységkörbe írt szabályos háromszög oldalai mint átmérők fölé írt körök lefedik az egységkört (1. ábra). Tehát legkevesebb három lefedő körre van szükség.
Az 1. ábra szerinti esetben a lefedő körök sugara 32. Ha három, ennél kisebb sugarú kört veszünk, a lefedés nem sikerül, mert egy-egy kör az egységkör kerületének kevesebb mint a harmadát fedi le. Ezért a három egybevágó lefedő kör sugara legalább 32.

 Rudolf Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) és
 
 Terék Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.)

 
Megjegyzések. 1. Megmutatható, hogy nemcsak a 2 egység átmérőjű kör, hanem tetszőleges, legfeljebb 2 egység átmérőjű síkbeli ponthalmaz lefedhető három 32 sugarú körrel. Ennek igazolásához fölhasználjuk a következő tételt: Minden legfeljebb d átmérőjű síkbeli ponthalmaz lefedhető egy d3 oldalú szabályos hatszöggel. Ennek a tételnek a bizonyítása konvex tartományra ‐ Pál Gyula tételeként ‐ megtalálható Reiman István: A geometria és határterületei c. könyve 295‐296. oldalán. E tétel ismeretében csak azt kell belátnunk, hogy a 23 oldalú szabályos hatszög lefedhető három 32 sugarú körrel. A 2. ábrán az E, F, G pontok egy 23 oldalú szabályos hatszög három oldalának felezőpontjai. Nyilván az EFG háromszög szabályos, és oldalának hossza 3. A 2. ábra alapján láthatjuk, hogy e háromszög oldalaira mint átmérőkre illesztett körök lefedik a hatszöget, és a hatszöggel lefedett 2 átmérőjű alakzatot is.
2. Bérczi Gergely (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o.t.) a következő általánosítási lehetőségre mutatott rá: Tekintsünk kör helyett egy tetszőleges F korlátos és konvex síkidomot. F-et hozzá középpontosan hasonló m darab kicsinyített, nem feltétlenül egybevágó alakzattal szeretnénk lefedni. Mi lesz az m pozitív egész legkisebb értéke? Feladatunk ennek az I. C. Gohberg és A. Sz. Markusz által 1960-ban kitűzött problémának speciális esete, amikoris az F alakzat kör. Ekkor az m minimuma 3.
Az említett szerzők bebizonyították, hogy az m szám legkisebb értéke paralelogramma esetén 4, minden egyéb korlátos konvex F síkidomra 3. Az elemi, de mégis eléggé hosszadalmas bizonyítás megtalálható V. G. Boltjanszkij‐I. C. Gohberg: Alakzatok felbontása kisebb részekre című könyvének 53‐64. oldalán.
A feladat második részére, vagyis hogy legalább mekkora lefedő alakzatokat kell alkalmaznunk, amikor m a legkisebb, nem lehet ilyen egyszerűen válaszolni, a válasz függ a konvex síkidom alakjától.