Tekintsük a körmérkőzés eredményét leíró irányított teljes gráfot^*. A gráf bármely két pontja között pontosan egy irányított él van, amely a győztes versenyzőnek megfelelő pontból a vesztes felé mutat. (Az ilyen gráfok elnevezése ‐ éppen a körmérkőzés miatt ‐ tournament.) A feladat feltétele szerint a gráf nem tartalmaz olyan, úgynevezett Hamilton-kört, amely minden pontot tartalmaz.
Ha a gráf nem tartalmaz kört, akkor egy pontból elindulva, és az éleken lépkedve ‐ mivel egy pontra nem léphetünk kétszer ‐, előbb-utóbb el kell akadnunk; ez olyan pontban lehetséges, amelyből nem vezet ki él. Ez azt jelenti, hogy az adott ponthoz tartozó versenyzőt mindenki legyőzte; az állítás tehát igaz, az összes többi versenyzőt kiválasztva teljesülnek a feltételek.
Tegyük a továbbiakban fel, hogy a gráf tartalmaz kört. Tekintsük az (egyik) leghosszabb kört. Ez biztosan nem tartalmazza az összes csúcsot. Legyen $P$ egy tetszőleges csúcs, amely nem tartozik a körhöz. Színezzük pirosra a kör azon pontjait, amelyekből $P$ felé mutat az él, és kékre a többit, amelyekbe $P$-ből mutat az él. Ha a körben van piros és kék csúcs is, akkor a kört az élek irányában végigjárva legalább egyszer piros pontból vele szomszédos kék pontra lépünk. Ez azt jelenti, hogy $P$ beiktatható e két pont közé a körbe, tehát mégsem a legnagyobb kört választottuk ki, ami ellentmondás. Ezért a $P$-t a körrel összekötő élek vagy mind $P$ felé, vagy mind a kör pontjai felé mutatnak.
A körhöz nem tartozó pontok közül színezzük zöldre azokat, amelyekből minden él a kör felé mutat, és sárgára azokat, amelyek felé mutatnak a kör pontjaiból induló élek. Ha $P$ zöld és $Q$ sárga pont, és a köztük levő él $P$ felé mutat, akkor a $P$, $Q$ pontpár a kör bármelyik két szomszédos pontja közé beilleszthető, ami szintén ellentmondás. Ezért az összes zöld és sárga pontot összekötő él a sárga pont felé mutat.
A zöld pontokból a többi pontba induló élek tehát mind kifelé mutatnak; ha van legalább egy zöld pont, akkor kiválaszthatjuk a zöld pontoknak megfelelő versenyzőket. Ha nincs zöld pont, akkor válasszuk ki a kör pontjait; ezekből a sárga pontokba csak kifelé indul él.