Kezdőlap


Feladat:	F.3124	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Brezovich László
Füzet:	1997/január, 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/május: F.3124

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megoldás arra épül, hogy a bal oldal minimuma megegyezik a jobb oldal maximumával. A bal oldalt a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel becsüljük:

\begin{matrix} 2^{- sin^{2} x} + 2^{- cos^{2} x} \geq 2 \sqrt[]{2^{- sin^{2} x} \cdot 2^{- cos^{2} x}} = 2 \cdot 2^{- \frac{sin^{2} x + cos^{2} x}{2}} = \sqrt[]{2}, \end{matrix}

és egyenlőség akkor áll, ha

2^{- sin^{2} x} = 2^{- cos^{2} x}

, vagyis

| sin x | = | cos x |

, azaz

x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}

.
A jobb oldal becsléséhez felhasználjuk a szinusz-függvény addíciós képletét:

\begin{matrix} sin y + cos y = \sqrt[]{2} (cos \frac{π}{4} sin y + sin \frac{π}{4} cos y) = \sqrt[]{2} sin (y + \frac{π}{4}) \leq \sqrt[]{2}, \end{matrix}

itt akkor áll egyenlőség, ha

y + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 l π

, azaz

y = \frac{π}{4} + 2 l π

.
A megoldások tehát:

x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}

y = \frac{π}{4} + 2 l π

Brezovich László (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o)