A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen , illetve felezőpontja , illetve . Ismeretes, hogy ha az , , oldalú háromszögben a -hez tartozó súlyvonal , akkor (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye II. 291. feladat). Alkalmazzuk ezt az elfajuló háromszögre is érvényes összefüggést az , és háromszögekre: | | Az első két egyenlőség -szeresét és a harmadik egyenlőséget összeadva, majd mindkét oldalból -et kivonva: | | amiből miatt következik a feladat állítása. Egyenlőség esetén lesz, azaz, ha és felezik egymást. Ekkor ‐ a pontoknak ebben a sorrendjében ‐ egy (esetleg elfajuló) paralelogramma csúcsai.
Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
II. megoldás. Legyenek a tér egy tetszőleges pontjából az , , , pontokhoz vezető vektorok , , , . Mivel pl. , a következö írható: | | ami a feladat állítását jelenti. Egyenlőség pontosan akkor lesz, ha , vagyis , tehát egy (esetleg elfajuló) paralelogramma.
Prause István (Budapest, Piarista Gimn., III. o.t.) |
|
|