Kezdőlap


Feladat:	F.3118	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1996/december, 539 - 540. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/április: F.3118

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget felhasználva

\begin{matrix} (1 + \frac{1}{a_{k}}) (1 + \frac{a_{k}}{k^{2}}) = 1 + \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{a_{k}} + \frac{a_{k}}{k^{2}} \geq 1 + \frac{1}{k^{2}} + 2 \sqrt[]{\frac{1}{a_{k}} \cdot \frac{a_{k}}{k^{2}}} = {(\frac{k + 1}{k})}^{2}, \end{matrix}

és ezért

\begin{matrix} \prod_{k = 1}^{n} (1 + \frac{1}{a_{k}}) (1 + \frac{a_{k}}{k^{2}}) \geq {(\prod_{k = 1}^{n} \frac{k + 1}{k})}^{2} = {(n + 1)}^{2} . \end{matrix}

Egyenlőség akkor áll, ha minden egyes

k

-ra

\frac{1}{a_{k}} = \frac{a_{k}}{k^{2}}

, azaz

a_{k} = k