Kezdőlap


Feladat:	F.3117	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szobonya László , Vörös Zoltán
Füzet:	1996/december, 538 - 539. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos tetraéder, Terület, felszín, Térfogat, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Harmadfokú függvények, Törtfüggvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: F.3117

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot szabályos tetraéder helyett tetszőleges tetraéderre oldjuk meg. A tetraéder mindegyik csúcsánál egy-egy olyan kis tetraédert vágunk le, amelynek a levágott csúcsból induló bármelyik éle az eredeti él $n$ -ed része. Ennek következtében a kis tetraéderek $n$ arányú középpontos hasonlósággal az eredeti tetraéderbe vihetők át. Legyen a tetraéder felszíne $A$ , térfogata $V$ , ugyanezek az adatok a megmaradó testnél $A_{n}$ , illetve $V_{n}$ . Jelöljük a tetraéder lapjainak területét $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ , $T_{4}$ -gyel. A csonkításkor a $T_{i}$ területű lapból levágunk $3 \cdot \frac{T_{i}}{n^{2}}$ nagyságú területet, és mindegyik metszés a $T_{i}$ -vel szemközti csúcs levágásakor létrehoz egy $\frac{T_{i}}{n^{2}}$ területű lapot. Ezért

\begin{matrix} A_{n} = T_{1} + T_{2} + T_{3} + T_{4} - 3 \frac{T_{1} + T_{2} + T_{3} + T_{4}}{n^{2}} + \frac{T_{1} + T_{2} + T_{3} + T_{4}}{n^{2}}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} A_{n} = A (1 - \frac{2}{n^{2}}) . \end{matrix}

Hasonlóan kapjuk, hogy

V_{n} = V (1 - \frac{4}{n^{3}})

, és így

\begin{matrix} \frac{A_{n}}{V_{n}} = \frac{A}{V} \cdot \frac{1 - \frac{2}{n^{2}}}{1 - \frac{4}{n^{3}}} = \frac{A}{V} \cdot \frac{n^{3} - 2 n}{n^{3} - 4} . \end{matrix}

Mivel

\frac{A}{V}

pozitív állandó,

\frac{A_{n}}{V_{n}}

minimuma ugyanott van, mint

\frac{n^{3} - 2 n}{n^{3} - 4}

minimuma. De

\frac{n^{3} - 2 n}{n^{3} - 4} = \frac{n^{3} - 4 + 4 - 2 n}{n^{3} - 4} = 1 - \frac{2 n - 4}{n^{3} - 4}

, ami akkor lesz a legkisebb, ha

\frac{2 n - 4}{n^{3} - 4}

a legnagyobb, vagyis ha

\frac{n^{3} - 4}{2 n - 4}

a legkisebb. Ez utóbbi ugyanott minimális, ahol

f (n) = \frac{n^{3} - 4}{n - 2}

. Az

f (n)

függvény így írható:

\begin{matrix} f (n) = \frac{n^{3} - 2^{3} - 4}{n - 2} = n^{2} + 2 n + 4 + \frac{4}{n - 2} . \end{matrix}

Megmutatjuk, hogy

f (n)

n \geq 3

-ra szigorúan monoton növekvő. Ez a következőképpen látható be:

\begin{matrix} \begin{matrix} f (n + 1) - f (n) = {(n + 1)}^{2} + 2 (n + 1) + 4 + \frac{4}{(n + 1) - 2} - n^{2} - 2 n - 4 - \frac{4}{n - 2} = \\ = 2 n + 3 - \frac{4}{(n - 1) (n - 2)} \geq 2 \cdot 3 + 3 - \frac{4}{(3 - 1) (3 - 2)} = 9 - 2 = 7. \end{matrix} \end{matrix}

Ebből következik, hogy

n \geq 3

-ra

\frac{A_{n}}{V_{n}}

akkor a legkisebb, ha

n = 3

. Az

\frac{A_{n}}{V_{n}}

fenti alakjából

\frac{A_{2}}{V_{2}} = \frac{A}{V}

\frac{A_{3}}{V_{3}} = \frac{A}{V} \cdot \frac{21}{23}

, ezért minden

n > 1

egészre

\frac{A_{n}}{V_{n}}

minimuma az

n = 3

helyen van.

Szobonya László (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.)

Megjegyzés. Több megoldónk az

f (n)

függvényt vagy reciprokát (ha

n

1-nél nagyobb valós változó) deriváltja segítségével vizsgálta.