Kezdőlap


Feladat:	F.3115	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Méder Áron , Szabó Ádám , Szabó Jácint
Füzet:	1996/december, 535 - 536. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: F.3115

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B$ , $B D$ és $B C$ szakaszok felezőpontja rendre $F_{1}$ , $F_{2}$ és $F_{3}$ . Egy háromszög körülírt körének középpontját bármelyik két oldalfelező merőlegesének metszéspontjaként megkaphatjuk, ezért az előbb említett három szakasz felezőmerőlegesei $O_{1}$ , $O_{2}$ és $O_{3}$ mindegyikét meghatározzák. Mivel az $A B D ▵$ tompaszögű, $O_{3}$ ennek a háromszögnek ‐ és $A B C$ -nek is ‐ külső pontja, $F_{2}$ pedig az $A B C ▵$ belső pontja. Ezért ‐ és az $F_{1}$ és $F_{2}$ -nél lévő derékszögek miatt ‐ $O_{3} F_{1} F_{2} B$ konvex húrnégyszög, amiből $F_{1} O_{3} F_{2} ∢ = F_{1} B F_{2} ∢ = 36^{\circ}$ . Hasonlóan a $B F_{3} O_{2} F_{2}$ konvex húrnégyszögből az $F_{2} O_{2} O_{1}$ külső szög is $36^{\circ}$ . Így az $O_{1} O_{2} O_{3} ▵$ két szöge $36^{\circ}$ , tehát valóban hasonló a $D B A ▵$ -höz, hiszen $A B D ∢ = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ}$ .
Számítsuk ki ezután az $O_{1} O_{2} : O_{2} O_{3}$ arányt. Vezessük be az $A B = A C = b$ és $B C = a$ jelölést. Tekintve, hogy a $B C D$ és az $A B D$ háromszögek egyenlő szárúak, $B C = B D = A D = a$ és $C D = b - a$ . Az első részben igazolt hasonlóság szerint $O_{1} O_{2} : O_{2} O_{3} = A D : A B = a : b$ , tehát az $\frac{a}{b}$ arányt kell meghatároznunk. A szögfelező tétel szerint: $\frac{a}{b} = \frac{b - a}{a}$ , amelyből ${(\frac{a}{b})}^{2} + \frac{a}{b} - 1 = 0$ . Ebből $\frac{a}{b} = \frac{- 1 \pm \sqrt[]{5}}{2}$ , és mivel
$\frac{a}{b} > 0$ , $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}$ .

Szabó Jácint (Győr, Révai M. Gimn., III. o.t.)

Megjegyzések. 1. A

D

pont az aranymetszés szerint osztja a

C A

szakaszt. Ez azt jelenti, hogy

C D : D A = D A : C A

, ami ekvivalens azzal, hogy

C D : D A = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}

.
2. A feladat ábrája alapján meghatározhatjuk

18^{\circ}

36^{\circ}

54^{\circ}

72^{\circ}

108^{\circ}

stb. szögfüggvényeit. Pl.:

cos 36^{\circ} = \frac{b}{2 a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt[]{5} - 1} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{4}

.
3. Az előző pontban említett adatokkal, pl.

cos 36^{\circ}

-kal

O_{1} O_{2} : O_{2} O_{3}

kifejezhető. Több megoldónk a szinusztétellel (vagy egyéb trigonometrikus eszközzel) számolva a következőt kapta:

O_{1} O_{2} : O_{2} O_{3} = a : b = sin 36^{\circ} : sin 72^{\circ} = \frac{1}{2 \cdot cos 36^{\circ}}

. Ez a megoldás akkor lenne teljes, ha

cos 36^{\circ}

,,pontos'' értékének meghatározását is tartalmazná.
4. Az

A B C ▵

tíz példányából egy szabályos tízszög állítható össze. Ennek minden második csúcsa egy szabályos ötszöget határoz meg. Mivel

\frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}

szerkeszthető, feladatunk eljárást ad a szabályos öt- és tízszög szerkesztésére.
5. Megmutatható, hogy ha egy egyenlő szárú háromszöget az alapon fekvő egyik szög felezője két egyenlő szárú háromszögre vág, akkor a háromszögek szárai közötti szöge

36^{\circ}

Méder Áron (Budapest, Táncsics M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján