Kezdőlap


Feladat:	F.3113	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Kiss Ádám , Szabó Jácint
Füzet:	1996/december, 534 - 535. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Mértani sorozat, Konstruktív megoldási módszer, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: F.3113

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindkét kérdésre igen a válasz. Ennek bizonyításához elég egy-egy példát mutatni.
A második esetben a $- 2$ , $1$ , $4$ számok ilyen sorrendben egy $3$ differenciájú számtani sorozatot alkotnak, viszont átrendezve, az $1$ , $- 2$ , $4$ sorozat $- 2$ hányadosú mértani sorozat.
Az első esetben keressük a számokat $1$ , $q^{2}$ , $q^{3}$ alakban; ezek szerepelnek az $1$ , $q$ , $q^{2}$ , $q^{3}$ mértani sorozatban. Ezek a számok akkor alkotnak számtani sorozatot, ha $1 + q^{3} = 2 q^{2}$ . Egy oldalra rendezve és szorzattá alakítva:

\begin{matrix} (q - 1) (q^{2} - q - 1) = 0. \end{matrix}

Látjuk, hogy a

q^{2} - q - 1 = 0

egyenlet bármelyik gyöke, például

q = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2}

megfelelő. (A

q = 1

megoldás azért nem jó, mert akkor a sorozat egyenlő számokból állna.) Az első kérdésre tehát egy lehetséges példa:

\begin{matrix} 1, {(\frac{1 + \sqrt[]{5}}{2})}^{2} = \frac{3 + \sqrt[]{5}}{2}, {(\frac{1 + \sqrt[]{5}}{2})}^{3} = 2 + \sqrt[]{5} . \end{matrix}