Kezdőlap


Feladat:	F.3112	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Czirok Levente , Gerő Tamás Miklós , Kiss Ádám , Kutalik Zoltán , Makai Márton , Szabó Ádám , Szabó Jácint , Szobonya László
Füzet:	1996/október, 419 - 420. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: F.3112

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Látható, hogy $x = y = z = v = 2$ esetén teljesül az egyenletrendszer. Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs.
Írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget az $x$ és $y$ , illetve $u$ és $v$ számokra:

\begin{matrix} u v = x + y \geq 2 \sqrt[]{x y}, x y = u + v \geq 2 \sqrt[]{u v}, \end{matrix}

és egyenlőség akkor áll fenn, ha

x = y

, illetve

u = v

. Szorozzuk össze a két egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} 16 = (u v) (x y) \geq 2 \sqrt[]{x y} \cdot 2 \sqrt[]{u v} = 4 \sqrt[]{x y u v} = 16. \end{matrix}

Mivel egyenlőségnek kell állnia, az előbbiek szerint

x = y

és

u = v

. Ezt behelyettesítve az eredeti egyenletekbe:

\begin{matrix} 2 x = u^{2}, 2 u = x^{2}, \end{matrix}

amiből

x^{4} = {(2 u)}^{2} = 4 u^{2} = 4 \cdot 2 x = 8 x

, vagyis

x = 2

. Hasonlóan kapjuk, hogy

u = 2