Kezdőlap


Feladat:	F.3111	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Terpai Tamás
Füzet:	1996/december, 533 - 534. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Gömb és részei, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/február: F.3111

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a gömb középpontja $O$ , a gömbre illeszkedő két szomszédos csúcs $A$ és $B$ , az érintési pontok az említett lapsíkon $K$ és $L$ , a keresett sugár $r$ . Legyen $N$ az $A B$ szakasz felezőpontja, az $M$ az $O K$ egyenesének metszéspontja az átellenes kockalappal. Használjuk az ábra további jelöléseit. Mivel a gömb átmegy az $A$ és $B$ pontokon, az $O$ , $K$ és $L$ pontok benne vannak az $A B$ szakasz felező merőleges síkjában, és nyilván $O A = O B = O K = O L = r$ . Az $O M N$ egyenlő szárú derékszögű háromszögből

\begin{matrix} O N = O M \sqrt[]{2} = (1 - r) \sqrt[]{2} . \end{matrix}

(1)

Tekintve, hogy

O N

a felező merőleges síkban van,

A N O ∢ = 90^{\circ}

, ezért

{[(1 - r) \sqrt[]{2}]}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} = r^{2}

, amiből

\begin{matrix} r^{2} - 4 r^{2} + \frac{9}{4} = 0. \end{matrix}

(2)

Ennek az egyenletnek a megoldásai:

r_{1} = 2 - \frac{\sqrt[]{7}}{2}

r_{2} = 2 + \frac{\sqrt[]{7}}{2}

.
Az első megoldás az

O

középpontú, a kocka két lapját egy-egy belső pontjában ‐ a

K

L

pontokban ‐ érintő gömb sugara. A második megoldás egy

O'

középpontú, pl. a

D C G H

lap síkját

L'

-ben érintő gömb sugara. Ekkor

O' N = (r - 1) \sqrt[]{2}

, amiből ugyancsak a (2) egyenletet kapjuk. A feladatnak tehát két megoldása van.

Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján