Kezdőlap


Feladat:	F.3106	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Castro Aldo , Gerő Tamás Miklós , Hevér Barbara , Kiss Ádám , Kopecsni György , Szabó Jácint , Szilágyi Jenő , Várkonyi Péter
Füzet:	1996/november, 484. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/február: F.3106

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk meg az egyenletet $2 sin 10^{\circ}$ -kal, és alkalmazzuk minden egyes tagra a $2 sin x sin y = cos (x - y) - cos (x + y)$ azonosságot:

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 sin 10^{\circ} sin 10^{\circ} + 2 sin 30^{\circ} sin 10^{\circ} + 2 sin 50^{\circ} sin 10^{\circ} + ... + 2 sin 170^{\circ} sin 10^{\circ} = 2; \\ (cos 0^{\circ} - cos 20^{\circ}) + (cos 20^{\circ} - cos 40^{\circ}) + ... + (cos 160^{\circ} - cos 180^{\circ}) = 2; \\ cos 0^{\circ} - cos 180^{\circ} = 2, \end{matrix} \end{matrix}

ez pedig teljesül. Mivel

sin 10^{\circ} \neq 0

, lépéseink megfordíthatóak.

Megjegyzés. Az (1)-ben szereplő tagoknak nem nehéz geometriai szemléltetést adni. Rajzolunk egy egységnyi oldalú szabályos 18-szöget. Ennek leghosszabb átlója

\frac{1}{sin 10^{\circ}}

, míg oldalainak vetülete az átlóra éppen

sin 10^{\circ}

sin 30^{\circ}

...

sin 170^{\circ}