Kezdőlap


Feladat:	F.3105	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szilágyi Judit
Füzet:	1996/november, 483 - 484. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, Beírt gömb, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/január: F.3105

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a tetraéder csúcsai $A$ , $B$ , $C$ , $D$ térfogata $V$ , felszíne $A$ , a beírt gömb sugara $r = 1$ , a $B C D$ lappal párhuzamos érintősík a tetraéderből az $A B_{1} C_{1} D_{1}$ tetraédert vágja le. (Lásd az ábrát.) Jelöljük az ebbe a tetraéderbe írható gömb sugarát $r_{A}$ -val, az $A B C D$ tetraéder $A$ csúcsából húzott magassagát $m_{A}$ -val. Az $A B_{1} C_{1} D_{1}$ és $A B C D$ tetraéderek hasonlóak, ezért $\frac{r_{A}}{1} = \frac{m_{A} - 2}{m_{A}} = 1 - \frac{2}{m_{A}}$ . A többi lappal párhuzamos érintősíkok lemetszette tetraéderekbe írt gömbök sugarát hasonlóan kiszámítva:

\begin{matrix} r_{A} + r_{B} + r_{C} + r_{D} = 4 - 2 (\frac{1}{m_{A}} + \frac{1}{m_{B}} + \frac{1}{m_{C}} + \frac{1}{m_{D}}) . \end{matrix}

(1)

Ha a

B C D ▵

területét

t_{A}

-val jelöljük, a tetraéder térfogata:

V = \frac{t_{A} \cdot m_{A}}{3}

, amiből

\frac{1}{m_{A}} = \frac{t_{A}}{3 V}

. A többi magasságot hasonlóan kiszámítva:

\begin{matrix} \frac{1}{m_{A}} + \frac{1}{m_{B}} + \frac{1}{m_{C}} + \frac{1}{m_{D}} = \frac{t_{A} + t_{B} + t_{C} + t_{D}}{3 V} = \frac{A}{3 V} . \end{matrix}

(2)

A tetraéder térfogata a beírt gömb sugarával is kifejezhető,

V = \frac{A \cdot r}{3}

, amiből (tekintve, hogy

r = 1

)

A = 3 V

. Ezért (2) jobb oldala:

\frac{A}{3 V} = \frac{3 V}{3 V} = 1

, és így (1)-ből

r_{A} + r_{B} + r_{C} + r_{D} = 4 - 2 = 2

Szilágyi Judit (Balatonfüred, Lóczy L. Gimn., II. o.t.)

Megjegyzés. A feladat síkbeli megfelelője a következő: A háromszögbe írt

r

sugarú kör oldalakkal párhuzamos érintői által lemetszett háromszögekbe írható körök sugara

r_{a}

r_{b}

r_{c}

. Ekkor

r_{a} + r_{b} + r_{c} = r