A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kijelölt pont legyen a derékszögű koordináta-rendszer rácspontja. Ekkor a pontok koordinátái egész számok. A koordináták paritása alapján a pontokat négy osztályba soroljuk: 1. Mindkét koordináta páros, az osztályba tartozó pontok száma , 2. az első koordináta páros, a második páratlan, a pontok száma , 3. az első koordináta páratlan, a második páros, a pontok száma , 4. mindkét koordináta páratlan, a pontok száma . Nyilván , és az is világos, hogy az egy osztályba tartozó pontpárok ,,jó'' szakaszokat határoznak meg, két különböző osztályba tartozó pont pedig nem. Nézzük most példaként azt az esetet, amikor . Hagyjunk el az első osztályból egy pontot, és helyette vegyünk fel egy új pontot a második osztályba. Így az első osztályban ,,jó'' szakasszal kevesebb lesz, a másodikban pedig -vel több. Ezért a ,,jó'' szakaszok száma változatlan mellett csökkent. Ugyanezt mondhatjuk el bármilyen (, , , , ; ) esetén. Minimális számú ,,jó'' szakaszt tehát akkor kapunk, ha . Ezek szerint, ha ( pozitív egész), akkor a legkevesebb ,,jó'' szakasz az esetben lesz, és a ,,jó'' szakaszok száma: . Ez -nel kifejeze: . Ha , akkor a ,,jó'' szakaszok száma úgy lesz minimális, ha három osztály mindegyikében darab pont van, egyben pedig , a ,,jó'' szakaszok száma most . Az esetben az előbbihez hasonlóan a ,,jó'' szakaszok számának minimuma: . Végül az esetben: .
Zakariás Ildikó Székesfehérvár, (Teleki Blanka Gimn., III.o.t.) |
Megjegyzés: A függvény megfogalmazható az -dimenziós tér pontpárjai meghatározta szakaszokra is. Ekkor egy osztályba soroljuk azokat a rácspontokat, amelyek első, második, stb. koordinátája azonos paritású. Ezért összesen osztály lesz. Egy szakasz akkor és csak akkor lesz ,,jó'', ha végpontjai ugyanabba az osztályba tartoznak. Minimális számú ,,jó'' szakaszt kapunk, ha (, , , , ; ), . A további számolások ugyanúgy végezhetők, mint az eredeti feladatban. |