Kezdőlap


Feladat:	F.3103	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyenes Zoltán , Gyurkó L. Gergely , Kovács Károly , Makai Márton , Várkonyi Péter , Vörös Zoltán
Füzet:	1996/május, 287 - 289. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Trigonometriai azonosságok, Vetítések, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/január: F.3103

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a szabályos háromszög csúcsait $P$ , $Q$ , $R$ -rel, és legyen $P Q = 1$ . Az $A B$ egyenes és a háromszög határának közös pontjai $M$ és $N$ (lásd az 1. ábrát). Az $M N$ egyenes a szabályos háromszöget két alakzatra vágja szét, amelyek közül az egyik biztosan háromszög. Ábránkon ez az $M R N$ háromszög. Ennek a háromszögnek az $M$ és $N$ csúcsánál lévő szögei közül az egyik nem nagyobb, mint $60^{\circ}$ , legyen ez pl. az $N M R ∢$ . Ekkor $A B$ eltolható úgy, hogy $A$ az $M R$ oldalra illeszkedő $R$ -től különböző szabályos háromszög csúcsba kerüljön, (az ábrán ez a $P$ pont) és a szakasz pontjai a háromszöglemez pontjai maradjanak. A 2. ábrán az eltolt szakasz az $A_{1} B_{1}$ . Jelöljük $α$ -val a $Q P B_{1}$ és $R P B_{1}$ szögek közül a nem nagyobbat. Világos, hogy $0^{\circ} \leq α \leq 30^{\circ}$ , és $A_{1} B_{1}$ vetülete az egyes oldalakon: $A_{1} B_{1} \cdot cos α$ , $A_{1} B_{1} \cdot cos (60^{\circ} - α)$ ,
$A_{1} B_{1} \cdot sin (30^{\circ} - α)$ . A vetületek összege:

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{1} B_{1} \cdot (cos α + cos (60^{\circ} - α) + sin (30^{\circ} - α)) = \\ A_{1} B_{1} \cdot (cos α + cos 60^{\circ} \cdot cos α + sin 60^{\circ} \cdot sin α + sin 30^{\circ} \cdot cos α - cos 30^{\circ} \cdot sin α) = \\ = 2 \cdot A_{1} B_{1} \cdot cos α . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

cos α

0^{\circ} \leq α \leq 30^{\circ}

intervallumban szigorúan monoton fogyó, a

cos α

akkor a legnagyobb, ha

α = 0^{\circ}

, és akkor a legkisebb, ha

α = 30^{\circ}

.
Az

α = 0^{\circ}

eset azt jelenti, hogy a vetületek összege akkor a legnagyobb, ha az

A B

szakasz párhuzamos a

P Q R

háromszög egyik oldalával. Könnyen látható, hogy ha

A B

minden pontja belső pont, akkor

A B < 1

, és

A B

elhelyezhető

P Q

-val párhuzamosan úgy, hogy az elmozgatott

A B

minden pontja továbbra is belső pont. A maximum tehát mindig létezik, és értéke

2 \cdot A B

.
Az

α = 30^{\circ}

eset azt jelenti, hogy az

A B

szakasz merőleges a szabályos háromszög egyik ololdalára. Nyilvánvaló, hogy az

A B

szakasz csak akkor mozgatható el az

α = 30^{\circ}

-nak megfelelő helyzetbe, és ekkor létezik a keresett minimum, ha

A B

kisebb, mint a szabályos háromszög magassága,

\frac{\sqrt[]{3}}{2}

. A minimum ekkor

A B \cdot \sqrt[]{3}

.
Ha

\frac{\sqrt[]{3}}{2} \leq A B < 1

, akkor

0 < \frac{\sqrt[]{3}}{2 A B} \leq 1

, így egyértelműen létezik olyan

0^{\circ} < β < 30^{\circ}

szög, amellyel

\frac{\sqrt[]{3}}{2 A B} = cos α

(

β = arc cos \frac{\sqrt[]{3}}{2 A B}

). Ezzel

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 A B \cdot cos α = 2 A B \cdot cos (30^{\circ} - β) = 2 A B \cdot (\frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2 A B} + \frac{1}{2} \frac{\sqrt[]{4 A B^{2} - 3}}{2 A B}) = \\ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \sqrt[]{4 A B^{2} - 3} \end{matrix} \end{matrix}

mindig kisebb a vetületek összegénél, amely ezt az értéket tetszőlegesen megközelítheti.

Gyurkó L. Gergely (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)

Várkonyi Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)