Feladat:	F.3101	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csillag Zita ,  Gyenes Zoltán ,  Gyukics Mihály ,  Horváth Gábor ,  Horváth Imre ,  Kiss Ádám ,  Lippner Gábor ,  Mátrai Tamás ,  Nagy Margit ,  Nyakas Péter ,  Nyul Gábor ,  Ondi Attila ,  Papp Ágnes ,  Pintér Dömötör ,  Sánta Zsuzsa ,  Szántó Richárd ,  Szilágyi Jenő ,  Szilágyi Judit ,  Terpai Tamás ,  Várkonyi Péter ,  Vaszil Krisztina ,  Vörös Zoltán ,  Übelhart István
Füzet:	1996/május, 286 - 287. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/január: F.3101

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Felhasználjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{cos}2x}& {\displaystyle =2\text{cos}{}^{2}x-\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{cos}3x}& {\displaystyle =4\text{cos}{}^{3}x-3\text{cos}x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{cos}4x}& {\displaystyle =8\text{cos}{}^{4}x-8\text{cos}{}^{2}x+1.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Helyettesítsük be ezeket az azonosságokat az egyenletbe: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}x-\left(2\text{cos}{}^{2}x-1\right)+\left(4\text{cos}{}^{3}x-3\text{cos}x\right)-\left(8\text{cos}{}^{4}x-8\text{cos}{}^{2}x+1\right)=\frac{1}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 16\text{cos}{}^{4}x-8\text{cos}{}^{3}x-12\text{cos}{}^{2}x+4\text{cos}x+1=0.}\end{array}$ Ha $\text{cos}x=\frac{1}{2}$, akkor ez az egyenlet teljesül. Emeljük ki a $\text{cos}x-\frac{1}{2}$ gyöktényezőt: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\text{cos}x-\frac{1}{2}\right)\left(8\text{cos}{}^{3}x-6\text{cos}x-1\right)=0.}\end{array}$ A második tényezőben nem más áll, mint $2\text{cos}3x-1$. Az egyenlet tehát akkor teljesül, ha $\text{cos}x=\frac{1}{2}$ vagy $\text{cos}3x=\frac{1}{2}$. Az első esetben $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\cdot 2\pi$, a másodikban $3x=\pm \frac{\pi }{3}+k\cdot 2\pi$; ez utóbbit 3-mal osztva $x=\pm \frac{\pi }{9}+k\cdot \frac{2\pi }{3}$.   II. megoldás. Látható, hogy az egyenlet nem teljesül, ha $\text{sin}x=0$, azaz $\text{cos}x=1$ vagy $\text{cos}x=-1$. (Ilyenkor a bal oldalon egész szám áll, a jobb oldalon pedig nem.)Ezt figyelembe véve, szorozzuk meg az egyenletet $2\text{sin}x$-szel, és alakítsuk át a $2\text{cos}u\text{sin}v=\text{sin}\left(u+v\right)-\text{sin}\left(u-v\right)$ azonosság felhasználásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\text{sin}2x-\text{sin}0\right)-\left(\text{sin}3x-\text{sin}x\right)+\left(\text{sin}4x-\text{sin}2x\right)-\left(\text{sin}5x-\text{sin}3x\right)=\text{sin}x\mathrm{.}}\end{array}$ Rendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}4x=\text{sin}5x\mathrm{.}}\end{array}$ Ez akkor teljesül, ha $4x=5x+k\cdot 2\pi$ vagy $4x=\pi -5x+k\cdot 2\pi$. Az első esetben $x=k\cdot 2\pi$, ami nem lehetséges a $\text{sin}x\ne 0$ kikötés miatt. A második esetben $x=\frac{2k+1}{9}\pi$, ami $x=\pm \frac{\pi }{9}+l\cdot 2\pi$, $x=\pm \frac{\pi }{3}+l\cdot 2\pi$, $x=\pm \frac{5\pi }{9}+l\cdot 2\pi$ és $x=\pm \frac{7\pi }{9}+l\cdot 2\pi$ esetén lehetséges. (Az $x=\left(2l+1\right)\pi$ esetet ismét kizárja a $\text{sin}x\ne 0$ feltétel.)