Kezdőlap


Feladat:	F.3100	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor
Füzet:	1996/október, 418. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Rekurzív eljárások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/január: F.3100

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A definíció alapján a sorozat pozitív tagú, és szigorúan monoton nő. Ugyancsak a definíció alapján, ha $n \geq 2$ , akkor

\begin{matrix} a_{n} = a_{n - 1} + \frac{1}{a_{n - 2}} = a_{n - 2} + \frac{1}{a_{n - 3}} + \frac{1}{a_{n - 2}} = ... = a_{1} + \frac{1}{a_{0}} + \frac{1}{a_{1}} + ... + \frac{1}{a_{n - 2}} \geq n \cdot \frac{1}{a_{n}} . \end{matrix}

Ez átrendezve

a_{n}^{2} \geq n

, ami éppen az állítás.
Az

n = 0

és

n = 1

esetre az állítás behelyettesítéssel ellenőrizhető.

Megjegyzés. A rekurziós kifejezést négyzetre emelve kapjuk, hogy

n \geq 2

esetén

\begin{matrix} a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 \frac{a_{n}}{a_{n - 1}} + \frac{1}{a_{n - 1}^{2}} = a_{n}^{2} + 2 \frac{a_{n - 1} + \frac{1}{a_{n - 2}}}{a_{n - 1}} + \frac{1}{a_{n - 1}^{2}} = a_{n}^{2} + 2 + \frac{2}{a_{n - 1} a_{n - 2}} + \frac{1}{a_{n - 1}^{2}} . \end{matrix}

Ebből nem nehéz igazolni, hogy

n \geq 2

esetén

\begin{matrix} 2 n \leq a_{n}^{2} < 2 n + ln n + 1. \end{matrix}