Kezdőlap


Feladat:	C.452	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gáspár László , Hans Zoltán , Jáger Márta , Szécsi Gábor
Füzet:	1997/április, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Gömb és részei, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/december: C.452

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a két gömb térfogata megegyezik, ezért sugaruk is egyenlő, legyen ez $R$ . A két gömbközéppont távolsága ugyancsak $R$ . A közös rész két egybevágó gömbszeletből áll. A gömbszelet térfogatát a következő képletből számíthatjuk:

\begin{matrix} V = \frac{π}{3} m^{2} (3 r - m), \end{matrix}

ahol

r

a gömb sugarát,

m

a gömbszelet magasságát jelenti. Esetünkben

\begin{matrix} V_{gsz} = \frac{π}{3} {(\frac{R}{2})}^{2} (3 R - \frac{R}{2}) = \frac{5 π R^{3}}{24}, \end{matrix}

a közös rész ennek kétszerese. A gömb térfogata

V_{g} = \frac{4 π R^{3}}{3}

.
A két térfogat arányából:

\begin{matrix} \frac{2 V_{gsz}}{V_{g}} = \frac{\frac{10 π R^{3}}{24}}{\frac{4 π R^{3}}{3}} = \frac{5}{16}, \end{matrix}

kapjuk, hogy a közös rész térfogata a gömb térfogatának

\frac{5}{16}

része.

Gáspár László (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o.t.)

Megjegyzés. Felsőbb osztályosok felhasználták újonnan szerzett ismereteiket, és a térfogatokat nem a képlet alapján, hanem integrálszámítás segítségével határozták meg.