|
Feladat: |
C.449 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Babos Attila , Ballók István , Barabás Zsolt , Fehér Ágnes , Fehér Lajos Károly , Gyimesi Andrea , Hegedűs Ákos , Hegedűs Miklós , Horváth Gábor , Horváth György , Jáger Márta , Joó Dániel , Krenedits Sándor , Kunszenti-Kovács Dávid , Lisznyai Erika , Monos András , Pomozi Olivér , Pozsonyi Tamás , Sarlós Ferenc , Szöllősi Loránd , Taraza Busra , Terpai Tamás , Tirpák Miklós , Végh László |
Füzet: |
1997/május,
274 - 276. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Természetes számok, Partíciós problémák, Oszthatósági feladatok, C gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/december: C.449 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat a matematika nyelvére átfogalmazva azt jelenti, hogy az természetes számot 3 különböző természetes szám összegére kell felbontani. Milyen esetén lesz a felbontások száma -nél 1-gyel nagyobb? Írjuk fel pl. esetére az összes lehetséges felbontást:
Láthatjuk, hogy a felsoroltak között némelyik többször is előfordul, pl. 1 2 3 és 2 1 3 csak a sorrendben különbözik, amit mi nem tudunk megkülönböztetni, mert csak azonos fajtájú szaloncukrunk van. Az esetén csak háromféle különböző halomba osztás létezik, és közülük csak egy elégíti ki azt a feltételt, hogy minden halomban más-más számú cukor legyen, esetén pedig egy sem tudja kielégíteni a feladat feltételét. Legyen elemünk ( darab szaloncukor), ezt 3 nem üres halmazba -féleképpen oszthatjuk szét. (Képzeljük el ugyanis, hogy a szaloncukrokat sorban lerakjuk, és három kupacra bontjuk két osztóvonallal. Az osztóvonalakat pedig közre helyezhetjük.) Ez az összes lehetséges felosztás; ebből le kell vonnunk azok számát, amelyek többször fordulnak elő, illetve nem tesznek eleget a feladat követelményének. Legyen , és számoljuk meg azokat a felosztásokat, amelyekben ( darab szaloncukor) elemű halmaz kétszer fordul elő. Ezek: | | ez 3 lehetőség, és ha , azaz ( osztható 3-mal), akkor még egy lehetőség az, amikor a 3 halom mindegyikében ugyanannyi elem (cukor) van. Eszerint 4 esetet kell megkülönböztetnünk: 1. Ha páros, de 3-mal nem osztható, akkor , , s mivel egész, olyan eset van, amikor két halom ugyanannyi elemből áll, s ezek mindegyike 3-szor szerepel. Ekkor a nekünk megfelelő esetek száma: Ezt ‐ mivel a sorrendet nem kívánjuk figyelembe venne ‐ el kell osztanunk a 3 elem lehetséges sorrendjeinek számával, -tal. Írjuk fel a feltételeket kielégítő egyenletet: | |
Rendezve a következő egyenlethez jutunk: , s ennek nincs egész megoldása. 2. Ha páros és 3-mal is osztható, akkor | | Innen , azaz vagy . 3. Ha páratlan és nem osztható 3-mal, akkor olyan felosztás van, amiben két halom elemszáma megegyezik. Az egyenlet: | | . Nincs egész megoldása. 4. Ha páratlan és osztható 3-mal, az egyenlet: | | . Ekkor sincs egész megoldás. Látjuk, hogy megoldás, azaz 18 darab szaloncukrot 19-féleképpen tudunk 3 halomba osztani úgy, hogy a cukrok száma minden halomban más legyen. Más megoldása nincs a feladatnak, mivel az összes lehetséges esetet megvizsgáltuk.
Gyimesi Andrea (Miskolc, Földes F. Gimn., 8. o.t.) dolgozata alapján |
Megjegyzés. A megoldók többsége (legtöbbjük 3 pontot kapott) csak azt látta be, hogy a 18 jó megoldás, de azt nem, hogy más megoldás nem lehetséges.
|
|