Kezdőlap


Feladat:	C.447	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1997/szeptember, 343 - 344. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkbeli ponthalmazok távolsága, Háromszögek nevezetes tételei, Terület, felszín, Hossz, kerület, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/november: C.447

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenes messe a szögszárakat az $A$ és $B$ pontokban, $O$ a szög csúcsa. Jelölje $O A = a$ , illetve $O B = b$ a lemetszett szakaszok hosszát, $O F = \frac{1}{2}$ . Írjuk fel a keletkezett háromszögek területét az ismert képlet alapján:

\begin{matrix} \begin{matrix} T_{A O B} = \frac{a b sin 60^{\circ}}{2}; T_{O A F} = \frac{\frac{1}{2} a sin 30^{\circ}}{2}; \\ T_{O B F} = \frac{\frac{1}{2} b sin 30^{\circ}}{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Egyrészt tudjuk, hogy

\begin{matrix} T_{A O B} = T_{A O F} + T_{O B F} = \frac{a}{8} + \frac{b}{8} = \frac{\sqrt[]{3}}{4}, \end{matrix}

ahonnan

a + b = 2 \sqrt[]{3}

, másrészt az

\frac{a b \frac{\sqrt[]{3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt[]{3}}{4}

egyenletből

a b = 1

.
A gyökök és együtthatók összefüggései alapján

a

és

b

a következő másodfokú egyenlet gyökei:

x^{2} - 2 \sqrt[]{3} x + 1 = 0

, ahonnan

x_{1} = \sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}

x_{2} = \sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}

.
A szárakból lemetszett szakaszok hossza:

\sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}

és

\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}

egység.