Kezdőlap


Feladat:	C.444	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1997/március, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Térbeli szimmetrikus alakzatok, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/október: C.444

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $A$ , $B$ , $C$ , $D$ a gúla csúcsait, $A B C$ az alapháromszög, amelyről tudjuk, hogy szabályos, $D$ a negyedik csúcs. Az oldallapok hajlásszögét a két sík metszésvonalának egy pontjában a metszésvonalra állított merőleges egyenesek szöge méri. Álllítsunk $A$ -ból és $B$ -ből merőlegeseket a $C D$ élre; mivel a gúla szabályos, az $A B$ él felezőpontján és a $C D$ élen átfektetett sík a gúla szimmetriasíkja, s így a két merőleges egy közös $E$ pontban metszi a $C D$ élt. Az $A E B ∢ = 120^{\circ}$ .

A szimmetria miatt

A E B

egy

120^{\circ}

-os egyenlő szárú háromszög, amelynek alapja egységnyi. Az

A E

oldal hosszát könnyen ki tudjuk számítani:
Húzzuk meg az

E F

magasságot, és vegyük észre, hogy az

A E F

egy szabályos háromszög fele, amelynek magassága

\frac{1}{2}

, s mivel tudjuk, hogy a szabályos háromszögben a magasság az oldal

\frac{\sqrt[]{3}}{2}

-szerese, felírhatjuk, hogy

\frac{1}{2} = \frac{a \sqrt[]{3}}{2}

, ahonnan

A E = a = \frac{\sqrt[]{3}}{3}

. Ennek ismeretében az

A C E

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} E C = \sqrt[]{1^{2} - {(\frac{\sqrt[]{3}}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt[]{6}}{3} . \end{matrix}

C D

él kiszámítására sokféle lehetőségünk van (pl. hasonlóság, Pitagorasz-tétel stb.).
Az

A D C

háromszög egyenlő szárú (mivel a gúla szabályos). Jelölje

x

C D

él hosszát, a

D

pont merőleges vetülete az

A C

-re legyen

D'

, az

E

vetülete az

A C

-re

E'

Mivel

A E' = \frac{\sqrt[]{3}}{3} < E C = \frac{\sqrt[]{6}}{3}

, azért

E'

közelebb van

A

-hoz, mint

D'

, ami egyben felezőpontja

A C

-nek, vagyis

E

C

-től távolabb van, mint

D

. Az

A D E

háromszögben felírhatjuk Pitagorasz tételét:

\begin{matrix} {(x - \frac{\sqrt[]{6}}{3})}^{2} + {(\frac{\sqrt[]{3}}{3})}^{2} = x^{2}, \end{matrix}

ahonnan a gúla élére

x \frac{\sqrt[]{6}}{4} \approx 0,6123

egység adódik.

Megjegyzések. A hiányos dolgozatok nagy része onnan adódott, hogy sokan csak ábrákat rajzoltak és számításokat végeztek, de hiányzott annak indoklása, hogy miért éppen azt számolták. Csak nagyon kevesen írták le a a két sík hajlásszögének definícióját, vagy hogy esetünkben a két merőleges miért találkozik egy pontban.
Sokan számoltak koszinusztétellel vagy használtak szögfüggvényeket. Természetesen, ha megoldásuk egyébként jó volt, ők is megkapták a maximális pontot. De a megoldások során törekedjünk egyszerűségre, ahol lehet elemi módon számolni, nem érdemes elbonyolítani a számolásokat, mert esetleg úgy könnyebben hibázhatunk.