A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelölje , , , a gúla csúcsait, az alapháromszög, amelyről tudjuk, hogy szabályos, a negyedik csúcs. Az oldallapok hajlásszögét a két sík metszésvonalának egy pontjában a metszésvonalra állított merőleges egyenesek szöge méri. Álllítsunk -ból és -ből merőlegeseket a élre; mivel a gúla szabályos, az él felezőpontján és a élen átfektetett sík a gúla szimmetriasíkja, s így a két merőleges egy közös pontban metszi a élt. Az .
A szimmetria miatt egy -os egyenlő szárú háromszög, amelynek alapja egységnyi. Az oldal hosszát könnyen ki tudjuk számítani: Húzzuk meg az magasságot, és vegyük észre, hogy az egy szabályos háromszög fele, amelynek magassága , s mivel tudjuk, hogy a szabályos háromszögben a magasság az oldal -szerese, felírhatjuk, hogy , ahonnan . Ennek ismeretében az derékszögű háromszögből A él kiszámítására sokféle lehetőségünk van (pl. hasonlóság, Pitagorasz-tétel stb.). Az háromszög egyenlő szárú (mivel a gúla szabályos). Jelölje a él hosszát, a pont merőleges vetülete az -re legyen , az vetülete az -re .
Mivel , azért közelebb van -hoz, mint , ami egyben felezőpontja -nek, vagyis a -től távolabb van, mint . Az háromszögben felírhatjuk Pitagorasz tételét: ahonnan a gúla élére egység adódik.
Megjegyzések. A hiányos dolgozatok nagy része onnan adódott, hogy sokan csak ábrákat rajzoltak és számításokat végeztek, de hiányzott annak indoklása, hogy miért éppen azt számolták. Csak nagyon kevesen írták le a a két sík hajlásszögének definícióját, vagy hogy esetünkben a két merőleges miért találkozik egy pontban. Sokan számoltak koszinusztétellel vagy használtak szögfüggvényeket. Természetesen, ha megoldásuk egyébként jó volt, ők is megkapták a maximális pontot. De a megoldások során törekedjünk egyszerűségre, ahol lehet elemi módon számolni, nem érdemes elbonyolítani a számolásokat, mert esetleg úgy könnyebben hibázhatunk.
|