Kezdőlap


Feladat:	C.443	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Czirok Levente , Hans Zoltán , Horváth Gábor , Kresz Andrea , Nagy Endre , Nyilas Krisztián , Pánczél Anett , Sipos Márta
Füzet:	1997/április, 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Terület, felszín, Hossz, kerület, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/október: C.443

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Fejezzük ki a háromszög területét két oldala és a közbezárt szög segítségével, és írjuk $s$ helyébe az $s = \frac{a + b + c}{2}$ összefüggést. Ekkor (1) így alakul:

\begin{matrix} \frac{a b sin γ}{2} + \frac{a b}{2} = \frac{a + b + c}{2} \cdot \frac{a + b - c}{2} . \end{matrix}

Egyszerűsítve 2-vel, rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 a b (sin γ + 1) = a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b . \end{matrix}

Mivel

a

b > 0

, végigoszthatunk

2 a b

-vel. Így

\begin{matrix} sin γ + 1 = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} + 1. \end{matrix}

Vegyük észre, hogy a jobb oldalon álló tört nem más, mint

cos γ

(a koszinusz-tételből), azaz az egyenletet tovább egyszerűsítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin γ = cos γ, ahol 0^{\circ} < γ < 180^{\circ} . \end{matrix}

Az egyenlőség csak a

γ = 45^{\circ}

esetén teljesül, azaz a háromszög keresett szöge

45^{\circ}

.
Mivel végig ekvivalens átalakításokat végeztünk, ez valóban megoldása az eredeti egyenletnek (amiről természetesen helyettesítéssel is meggyőződhetünk).