Kezdőlap


Feladat:	C.442	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csirmaz Attila , Fejős Ibolya , Fodor Gyula , Hubenkó Elemér , Ivánszki Szilvia , Keller László , Pünkösti Anikó , Szipola Ágnes
Füzet:	1997/április, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/október: C.442

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $x^{4}$ és $y^{4}$ pozitív, felírhatjuk számtani és mértani közepükre az ismert egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{x^{4} + y^{4}}{2} \geq \sqrt[]{x^{4} y^{4}}, ahonnan x^{4} + x^{4} \geq 2 x^{2} y^{2} . \end{matrix}

Az egyenlőtlenség mindkét oldalához adjuk hozzá az ugyancsak pozitív

\frac{2}{x^{2} y^{2}}

-et, és alkalmazzuk újra a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget

2 x^{2} y^{2}

-re és

\frac{2}{x^{2} y^{2}}

-re. Ekkor egyszerűsítés után a bizonyítandó állítást kapjuk:

\begin{matrix} x^{4} + y^{4} + \frac{2}{x^{2} y^{2}} \geq 2 x^{2} y^{2} + \frac{2}{x^{2} y^{2}} \geq 2 \sqrt[]{2 x^{2} y^{2} \cdot \frac{2}{x^{2} y^{2}}} \geq 4. \end{matrix}

Hubenkó Elemér (Beregszász, 4. sz. Kossuth L. Középisk., II. o.t.)