Kezdőlap


Feladat:	C.432	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1996/december, 517. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetek, Térfogat, Tengely körüli forgatás, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/április: C.432

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy négyzetnek kétféle szimmetriatengelye van, az egyik az oldalfelező egyenes, a másik az átló.
Legyen a négyzet oldala $2 a$ . Forgassuk meg először valamelyik oldalfelező egyenese körül. Ekkor egy forgáshenger jön létre, amelynek a magassága $2 a$ , alapkörének sugara $a$ .
A felszíne $F = 2 a^{2} π + 2 a π \cdot 2 a = 6 a^{2} π$ , térfogata $V = a^{2} π \cdot 2 a = 2 a^{3} π$ . A keresett arány

\begin{matrix} \frac{F^{3}}{V^{2}} = \frac{{(6 a^{2} π)}^{3}}{{(2 a^{3} π)}^{2}} = 54 π . \end{matrix}

A második esetben a négyzetet egyik átlója körül forgatva két egybevágó forgáskúpot kapunk. A forgáskúp alapkörének sugara és magassága

a \sqrt[]{2}

. Felszíne,

F

, a két kúppalást felszínének összege.

\begin{matrix} F = \frac{2 a \sqrt[]{2} π \cdot 2 a}{2} \cdot 2 = 4 a^{2} \sqrt[]{2} π . \end{matrix}

Térfogata

\begin{matrix} V = 2 \cdot \frac{{(a \sqrt[]{2})}^{2} π \cdot a \sqrt[]{2}}{3} = \frac{4 a^{3} π \sqrt[]{2}}{3} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} \frac{F^{3}}{V^{2}} = \frac{2 \cdot 64 a^{6} π^{3} \sqrt[]{2}}{\frac{2 \cdot 16 a^{6} π^{2}}{9}} = 36 \sqrt[]{2} π . \end{matrix}

F^{3} / V^{2}

hányados tehát két értéket vehet fel:

36 \sqrt[]{2} π

, illetve

54 π