Kezdőlap


Feladat:	C.425	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jáger Márta
Füzet:	1996/október, 405 - 406. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: C.425

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromjegyű szám legyen $100 a + 10 b + c$ . A feladat szövege szerint

\begin{matrix} 100 a + 10 b + c = 3 (100 c + 10 b + a) + a + b + c . \end{matrix}

Rendezés és egyszerűsítés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} 32 a - 100 c = 7 b . \end{matrix}

A bal oldal osztható 4-gyel, s így

7 b

-nek is oszthatónak kell lennie 4-gyel, és

b

legfeljebb 9 lehet. Ez két esetben teljesül, ha

b = 4

, vagy

b = 8

. (A

b = 0

triviálisan nem lehetséges.)
Ha

b = 4

, akkor

8 a = 7 + 25 c

, ahol

0 \leq a \leq 9

, ezért

7 + 25 c \leq 72

c \leq \frac{65}{25} < 3

c = 0

esetén

a

nem egész.

c = 1

-re

8 a = 32

a = 4

;

c = 2

-re

8 a = 57

a

nem egész.
Ebben az esetben tehát csak

a = 4

b = 4

c = 1

megoldása a feladatnak. (Valóban,

441 = 144 \cdot 3 + 9

, és

4 + 4 + 1 = 9

.)
Ha

b = 8

, akkor

32 a - 100 c = 56

, vagyis

8 a = 25 c + 14

, és most

c \leq \frac{72 - 14}{25} = \frac{58}{25}

.
Ekkor

c = 2

lehetséges csak, és akkor

a = 8

; a háromjegyű szám most 882. Tehát a feladat követelményeinek eleget tevő számok a 441 és a 882.