Feladat: C.420 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bálint Olivér ,  Boros Margit ,  Czirok Levente ,  Egyed Gábor ,  Fejős Ibolya ,  Gáspár László ,  Gueth Krisztián ,  Hajdufi Péter ,  Harrach Nóra Viola ,  Jáger Márta ,  Klausz Zoltán ,  Lengyel Tímea ,  Megyeri Csaba ,  Nagy Margit ,  Nagy Nóra ,  Pálfalvi Attila ,  Papp Ágnes ,  Regner Richárd ,  Terpai Tamás ,  Tóth István ,  Vágvölgyi Péter 
Füzet: 1996/szeptember, 349 - 350. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szabályos sokszög alapú gúlák, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Paralelogrammák, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/január: C.420

Egy szabályos hat oldalú gúla oldallapjai az alaplap síkjával 45-os szöget alkotnak. Az alaplap egyik élére olyan S síkot illesztünk, amely az éllel szomszédos alapélekhez tartozó oldallapokat párhuzamos szakaszokban metszi. Mekkora szöget zár be az S sík az alaplappal?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szabályos hatszög csúcsai legyenek A, B, C, ..., F, a gúla csúcsa G, és válasszuk az alapél hosszát 2 egységnek (1. ábra). Az oldallap és alaplap szögét leolvashatjuk pl. a GG'O derékszögű háromszögből: GG'O=45, így G'O=GO=3 (az FAO szabályos háromszögből). Fektessük az AB élre az S síkot, ez a BGC oldallapot a BP, az FGA oldallapot az AQ szakaszban metszi, és feltétel szerint BPAQ, ezért az alapsíkra eső vetületükre BP'AQ', ahol P' a P, Q' a Q vetülete. P és Q az alapsíkra merőleges FGC síknak pontjai, ezért vetületük, P' és Q' rajta van a két sík FC metszésvonalán, így ABFCP'Q' és BP'AQ' miatt az ABP'Q' négyszög paralelogramma.
A szabályos hatszög tengelyes szimmetriájából következik, hogy FQ'=CP', ami csak úgy lehetséges, ha BP'FC. AQ'FC (2. ábra). A keresett α hajlásszöget meghatározhatjuk a BPP' derékszögű háromszögből: tgα=PP'P'B, P'B=3, az OGC háromszögben PP'GO és P' felezi OC-t, azaz PP'=12GO=32, ezeket behelyettesítve:

tgα=12ésα=2634'.