Kezdőlap


Feladat:	C.419	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Horváth Ildikó
Füzet:	1996/május, 277 - 278. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Szögfelező egyenes, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/január: C.419

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög csúcsait a szokásos módon, és legyen $A C = 126$ , $B C = 168$ , ekkor Pitagorasz tételéből $A B = 210$ .
Az $A$ -ból induló szögfelező messe a $C B$ oldalt $A_{1}$ -ben, a $B$ -ből induló szögfelező talppontja $B_{1}$ , a $C$ -ből indulóé $C_{1}$ . Az $A_{1} B_{1} C_{1}$ háromszög kerületét akarjuk meghatározni.
Ismeretes, hogy a szögfelező a szemközti oldalt a közrezáró oldalak arányában osztja, pl. $C A_{1} : A_{1} B = A C : A B$ .
Legyen $C A_{1} = x$ , $C B_{1} = y$ és $B C_{1} = z$ , ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} x : (168 - x) & = 126 : 210 \\ y : (126 - y) & = 168 : 210 és \\ z : (210 - z) & = 168 : 126. \end{matrix} \end{matrix}

Innen

x = 63

y = 56

és

z = 120

.
Az

A_{1} B_{1}

oldal hosszát könnyen kiszámíthatjuk az

A_{1} B_{1} C

derékszögű háromszögből:

\begin{matrix} A_{1} B_{1} = \sqrt[]{63^{2} + 56^{2}} = \sqrt[]{7105} . \end{matrix}

B_{1} C_{1}

, illetőleg

A_{1} C_{1}

oldalt az

A B_{1} C_{1}

, illetve

B A_{1} C_{1}

háromszögekből koszinusztétellel számíthatjuk ki, ahhoz azonban ismernünk kell a

C A B ∢ = α

és

C B A ∢ = β

koszinuszát.
Tudjuk, hogy

cos α = \frac{126}{210}

. Írjuk fel a

B_{1} C_{1}

oldalra a koszinusztételt:

\begin{matrix} {(B_{1} C_{1})}^{2} = 70^{2} + 90^{2} - 2 \cdot 70 \cdot 90 \cdot \frac{126}{210} = 5440, \end{matrix}

innen

B_{1} C_{1} = \sqrt[]{5440}

.
Hasonlóképpen a

B A_{1} C_{1}

háromszögből és

cos β = \frac{168}{210}

értékéből

\begin{matrix} {(A_{1} C_{1})}^{2} = 105^{2} + 120^{2} - 2 \cdot 105 \cdot 120 \cdot \frac{168}{210} = 5265, \end{matrix}

és

A_{1} C_{1} = \sqrt[]{5265}

.
Végül a keresett kerület

\begin{matrix} K = \sqrt[]{7105} + \sqrt[]{5440} + \sqrt[]{5265} \approx 230,61 egység . \end{matrix}