Konstruálunk egy ilyen függvényt.
Legyen $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\text{...}$ egy pozitív számokból álló, szigorúan monoton növő, $1$-hez tartó sorozat, és legyen $b_0$, $b_1$, $b_2$, $\text{...}$ egy pozitív számokból álló, szigorúan monoton fogyó, $0$-hoz tartó sorozat.
Legyen $f\left(0\right)=f\left(1\right)=0$, $f\left(a_0\right)=b_0$, $f\left(a_{2n-1}\right)=b_n$ és $f\left(a_{2n}\right)=b_{n-1}$ minden $n$ pozitív egészre, továbbá a $\left[\mathrm{0,}{a}_0\right]$, $\left[a_0\mathrm{,}{a}_1\right]$, $\left[a_1\mathrm{,}{a}_2\right]$, $\text{...}$ intervallumokon a függvény legyen lineáris.
A függvénynek csak az $x=1$ pontbeli féloldali folytonosságát vizsgáljuk, a többi pontban a folytonosság triviális. Tekintsünk egy tetszőleges pozitív $\epsilon$-t. Mivel $b_n\to 0$, ehhez létezik olyan $n_0$, amelyre $b_{n_0}<\epsilon$. Ha $a_{2n_0+1}<x<1$, akkor a függvény definíciója miatt $0<f\left(x\right)<b_{n_0}<\epsilon$. A függvény tehát folytonos.
Most vizsgáljuk meg, melyik értékét hányszor veszi fel.
‐ A $0$-t kétszer ($x=0$ és $x=1$);
‐ A $b_0$-t kétszer ($x=a_0$ és $x=a_2$);
‐ A $b_n$-et, ahol $n\ge 1$, négyszer ($0$ és $a_0$ között, $x=a_{2n-1}$-ben, $a_{2n}$ és $a_{2n+1}$ között, valamint $x=a_{2n+2}$-ben);
‐ A $b_n$ és $b_{n-1}$ közötti értékeket négyszer ($0$ és $a_0$ között, $a_{2n-2}$ és $a_{2n-1}$ között, $a_{2n-1}$ és $a_{2n}$ között, valamint $a_{2n}$ és $a_{2n+1}$ között).