Kezdőlap


Feladat:	N.84	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Burcsi Péter , Frenkel Péter , Gyarmati Katalin , Makai Márton , Pap Gyula
Füzet:	1996/április, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/november: N.84

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négyzet $A B$ és $C D$ oldalaira kifelé rajzoljuk meg az $A B X$ és $C D Y$ háromszögeket úgy, hogy $A X = C Y = \frac{15}{14}$ és $B X = D Y = \frac{13}{14}$ legyen. Ilyen háromszögek léteznek, mert teljesülnek a háromszög-egyenlőtlenségek.
Ismeretes a Ptolemaiosz-tételnek az az általánosítása, hogy ha egy négyszög oldalai rendre $a$ , $b$ , $c$ és $d$ , átlói $e$ és $f$ , akkor $a c + b d \geq e f$ , és egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha a négyszög húrnégyszög. Alkalmazzuk ezt a tételt a $A X B P$ és $C Y D Q$ négyszögekre:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{13}{14} P A + \frac{15}{14} P B \geq X P, \\ \frac{13}{14} Q C + \frac{15}{14} Q D \geq Q Y . \end{matrix} \end{matrix}

Ezeket felhasználva

\begin{matrix} 13 (P A + Q C) + 14 P Q + 15 (P B + Q D) \geq 14 (X P + P Q + Q Y) \geq 14 X Y, \end{matrix}

és egyenlőség pontosan akkor áll, ha

A X B P

és

C Y D Q

húrnégyszögek, továbbá

P

és

Q

(ugyanilyen sorrendben) rajta van az

X Y

szakaszon, azaz ha

P

és

Q

nem más, mint az

X Y

szakasz és az

A B X

, illetve

C D Y

háromszög köré írt kör metszéspontja.
Legyen az

A B X

háromszög

X

-ből induló magasságának

R

, A

C D Y

háromszög

Y

-ból induló magasságának

S

a talppontja. Könnyen ellenőrizhető, hogy

X R = Y S = \frac{12}{14}

A R = C S = \frac{9}{14}

és

B R = D S = \frac{5}{14}

. A Pitagorasz-tétel alapján

\begin{matrix} X Y = \sqrt[]{{(X R + A D + S Y)}^{2} + {(A R - D S)}^{2}} = \frac{1}{7} \sqrt[]{365} \end{matrix}

és

\begin{matrix} 13 (P A + Q C) + 14 P Q + 15 (P B + Q D) \geq 14 X Y = 2 \sqrt[]{365} > 38. \end{matrix}

Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)