A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladatot először abban a speciális esetben oldjuk meg, amikor és relatív prímek. Az , , , számok különbözősége helyett csupán annyit kötünk ki, hogy nem lehet és értéke is . Tegyük fel, hogy az alakú pozitív egészeknek összesen csak véges sok prímosztója van. Legyenek ezek , , , . Válasszunk mindegyik -hez egy olyan pozitív egészet, hogy , és egyike se legyen osztható -vel. Azt állítjuk, hogy ha elég nagy és osztható -vel, akkor nem osztható -vel. ( az Euler-féle függvény: az -nél nem nagyobb, -hez relatív prím pozitív egészek száma.) A lehetséges eseteket két részre osztjuk. I. eset: ha sem , sem nem osztható -vel. Legyen . Az Euler‐Fermat tétel szerint | | ezért Az definíciója szerint nem osztható -nel. II. eset: ha vagy osztható -vel. Az állítás szimmetriája miatt feltehetjük, hogy osztható -vel. Mivel és relatív prímek, ebben az esetben nem osztható -vel. Ha , akkor osztható -nel, és ‐ ismét felhasználva az Euler‐Fermat tételt ‐ | | Mivel nem osztható -nel, kész vagyunk. Legyen most . Ha elég nagy és osztható -vel, akkor nem osztható -nel semmilyen -re sem, tehát prímtényezős felbontásban a kitevője kisebb, mint . Mivel az indirekt feltevés szerint más prímosztója nincs, ebből következik, hogy | | Ez azonban ellentmondás, mert és közül valamelyik legalább 2, így az sorozat szigorúan monoton nő, és végtelenhez tart. Hátravan még az általános eset vizsgálata, amikor és különböző, nem feltétlenül relatív prím számok. Legyen és legnagyobb közös osztója ; , , ahol és relatív prímek. Ezekkel a jelölésekkel Mivel és relatív prímek, a második tényező lehetséges értékeinek, mint láttuk, összesen végtelen sok prímosztója van.
Gyarmati Katalin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
|