Kezdőlap


Feladat:	N.62	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Burcsi Péter , Elek Péter , Gyarmati Katalin , Izsák Ferenc , Makai Márton , Pap Gyula , Póczos Barnabás , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek
Füzet:	1995/december, 543 - 544. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímtényezős felbontás, Négyzetrács geometriája, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/március: N.62

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a prímek rendre $p_{1}$ , $p_{2}$ , $...$ . Tekintsük a következő számokat:

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{1} & = p_{1} \cdot p_{2} \cdot ... \cdot p_{k}, \\ A_{2} & = p_{k + 1} \cdot p_{k + 2} \cdot ... \cdot p_{2 k}, \\ ⋮ \\ A_{i} & = p_{(i - 1) k + 1} \cdot p_{(i - 1) k + 2} \cdot ... \cdot p_{i k}, \\ ⋮ \\ A_{k} & = p_{(k - 1) k + 1} \cdot p_{(k - 1) k + 2} \cdot ... \cdot p_{k^{2}}; \\ és \\ B_{1} & = p_{1} \cdot p_{k + 1} \cdot ... \cdot p_{(k - 1) k + 1}, \\ B_{2} & = p_{2} \cdot p_{k + 2} \cdot ... \cdot p_{(k - 1) k + 2}, \\ ⋮ \\ B_{j} & = p_{j} \cdot p_{k + j} \cdot ... \cdot p_{(k - 1) k + j}, \\ ⋮ \\ B_{k} & = p_{k} \cdot p_{2 k} \cdot ... \cdot p_{k^{2}} . \end{matrix} \end{matrix}

A_{i}

-k páronként relatív prímek, ugyanis mindnek más-más prímtényezői vannak. Tehát találhatók olyan

a_{1}

a_{2}

...

a_{k} \in N

pozitív egész számok, amelyekre

A_{1} a_{1}

A_{2} a_{2}

...

A_{k} a_{k}

egymást követő pozitív egészek lesznek.
Hasonlóan találhatók

b_{1}

b_{2}

...

b_{k} \in N

, amelyekre

B_{1} b_{1}

B_{2} b_{2}

...

B_{k} b_{k}

egymást követő pozitív egészek lesznek.
Tekintsük az

x = A_{1} a_{1}, A_{2} a_{2}, ..., A_{k} a_{k}

és

y = B_{1} b_{1}, B_{2} b_{2}, ..., B_{k} b_{k}

koordinátákhoz tartozó rácsnégyzetet.

A_{i} a_{i}

és

B_{j} b_{j}

(ahol

1 \leq i, j \leq k

) oszthatók

p_{(i - 1) k + j}

-vel, tehát nem relatív prímek. Ebből következik, hogy a négyzet nem tartalmaz látható pontot.
Legyen

k = 2 \cdot 1995 + 1

. Ekkor a fentiek szerint konstruált négyzet középpontja megfelel a feladatnak: ettől a ponttól minden látható pont több, mint 1995 egységre van, hiszen a négyzet nem tartalmaz látható pontot.