Feladat:	N.61	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Burcsi Péter ,  Gyarmati Katalin ,  Izsák Ferenc
Füzet:	1995/december, 542 - 543. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/március: N.61

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{n^2-{1995}^2}{n^2-{1994}^2}=\frac{\left(n-1995\right)\left(n+1995\right)}{\left(n-1994\right)\left(n+1994\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ így tetszőleges $1995<k\le l$ egészekre: $\begin{array}{c}{\displaystyle \prod _{n=k}^l\frac{n^2-{1995}^2}{n^2-{1994}^2}=\frac{\prod _{n=k}^l\left(n-1995\right)}{\prod _{n=k}^l\left(n-1994\right)}\cdot \frac{\prod _{n=k}^l\left(n+1995\right)}{\prod _{n=k}^l\left(n+1994\right)}=\frac{\left(k-1995\right)\left(l+1995\right)}{\left(l-1994\right)\left(k+1994\right)}}\end{array}$ Tehát minden $\frac{\left(k-1995\right)\left(l+1995\right)}{\left(l-1994\right)\left(k+1995\right)}$ alakú szám előáll véges sok $\frac{n^2-{1995}^2}{n^2-{1994}^2}$ alakú szám szorzataként. Legyen $m$ tetszőleges pozitív egész, és $\begin{array}{c}{\displaystyle k=3989m+\mathrm{1994,}l=3989\cdot \left(3989m^2+3988m-1\right)+1994}\end{array}$ (ekkor az $1995<k\le l$ feltétel teljesül). Ezt behelyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{\left(k-1995\right)\left(l+1995\right)}{\left(l-1994\right)\left(k+1994\right)}=}\\ \multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: 6pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle =\frac{\left(3989m-1\right)}{3989\left(3989m^2+3988m-1\right)}\cdot \frac{3989\cdot \left(3989m^2+3988m-1\right)+3989}{3989m+3988}=}\\ \multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: 6pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle =\frac{\left(3989m-1\right)m}{3989m^2+3988m-1}=\frac{m}{m+1}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Tehát minden $\frac{m}{m+1}$ alakú szám előáll. Tetszőleges $0<\frac{p}{q}<1$ racionális számra $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{p}{q}=\frac{p}{p+1}\cdot \frac{p+1}{p+2}\cdot \text{...}\cdot \frac{q-1}{q}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel bebizonyítottuk, hogy tetszőleges 0 és 1 közötti racionális számot megkaphatunk $\frac{n^2-{1995}^2}{n^2-{1994}^2}$ alakú számok szorzataként. Másrészt $0<\frac{n^2-{1995}^2}{n^2-{1994}^2}<1$ és racionális, ilyen számok szorzata nyilván csak 0 és 1 közötti racionális szám lehet.  Gyarmati Katalin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)