A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy nincs négy ilyen pont a síkon. Indirekten bizonyítunk: tegyük fel, hogy mégis van négy pont a síkon, hogy bármely kettő távolsága páratlan egész. Nyilván semelyik három pont nem eshet egy egyenesbe, mert ha , , egy egyenesen van, akkor vagy -vel vagy -vel egyenlő, és ha és páratlan, akkor ez biztos páros lesz. Tehát semelyik három pont sem eshet egy egyenesre, így a négy pont konvex burka négyszög vagy háromszög. Tekintsük először azt az esetet, amikor négyszög a konvex burok (1. ábra). Legyen a négy pont , , , , és jelöljük a köztük fellépő távolságokat , , , , , -rel az ábrán látható módon. Legyen továbbá , és . (Látható, hogy .) A koszinusz-tételből | |
Mivel a négyszög konvex, azért és -nál kisebb, és ezért miatt | | és | | , ezért miatt | | ezért | |
Ismert, hogy egy páratlan szám négyzete 8-cal osztva 1-et ad maradékul, ezért , , így . Akkor pedig . Tehát az egyenlet bal oldalán olyan egész szám áll, amelynek maradéka 16-tal osztva 2. Akkor ez igaz lesz a jobb oldalon álló kifejezésre is. , és , ezért , és így maradéka 16-tal osztva 1 vagy lehet. Így a jobb oldalon csak akkor állhat 16-tal osztva 2 maradékot adó szám, ha | | maradéka 16-tal osztva vagy 7. Akkor pedig | | 16-tal osztva biztosan 1-et ad maradékul. (.) , ezért , és így . , ezért alakú, és akkor alakú lesz. Tehát maradéka 16-tal osztva 1. Így . Hasonlóan , így | | De az előbb már beláttuk, hogy ennek a kifejezésnek 16-tal osztva a maradéka 1, ez ellentmondás, tehát feltevésünk helytelen volt. Ugyanígy ellentmondásra jutunk abban az esetben is, ha a pontok konvex burka háromszög. Ha a négy pontot a 2. ábra szerint , , , -vel jelöljük, akkor az előbbi gondolatmenet elvégezhető az , , szögekre, és úgyanúgy ellentmondáshoz jutunk. Ez azt jelenti, hogy nem létezik a síkon négy pont úgy, hogy bármely kettő távolsága páratlan egész szám legyen.
Valkó Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) |
|