Kezdőlap


Feladat:	N.60	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gyarmati Katalin , Póczos Barnabás , Valkó Benedek
Füzet:	1995/december, 540 - 542. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Konstruktív megoldási módszer, Maradékos osztás, kongruenciák, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: N.60

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy nincs négy ilyen pont a síkon. Indirekten bizonyítunk: tegyük fel, hogy mégis van négy pont a síkon, hogy bármely kettő távolsága páratlan egész.
Nyilván semelyik három pont nem eshet egy egyenesbe, mert ha $A$ , $B$ , $C$ egy egyenesen van, akkor $A B$ vagy $A C + B C$ -vel vagy $| A C - B C |$ -vel egyenlő, és ha $A C$ és $B C$ páratlan, akkor ez biztos páros lesz. Tehát semelyik három pont sem eshet egy egyenesre, így a négy pont konvex burka négyszög vagy háromszög.
Tekintsük először azt az esetet, amikor négyszög a konvex burok (1. ábra). Legyen a négy pont $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , és jelöljük a köztük fellépő távolságokat $x$ , $y$ , $z$ , $p$ , $q$ , $r$ -rel az ábrán látható módon. Legyen továbbá $A B D ∢ = α$ , $D B C ∢ = β$ és $A B C ∢ = γ$ . (Látható, hogy $α + β = γ$ .) A koszinusz-tételből

\begin{matrix} \begin{matrix} cos α = \frac{x^{2} + y^{2} - r^{2}}{2 x y}, cos β = \frac{y^{2} + z^{2} - p^{2}}{2 y z}, \\ és cos γ = \frac{x^{2} + z^{2} - q^{2}}{2 x z} . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel a négyszög konvex, azért

α

és

β

180^{\circ}

-nál kisebb, és ezért

cos^{2} φ + sin^{2} φ = 1

miatt

\begin{matrix} sin α = \sqrt[]{1 - cos^{2} α} = \sqrt[]{\frac{4 x^{2} y^{2} - {(x^{2} + y^{2} - r^{2})}^{2}}{4 x^{2} y^{2}}} = \frac{\sqrt[]{4 x^{2} y^{2} - {(x^{2} + y^{2} - r^{2})}^{2}}}{2 x y} \end{matrix}

és

\begin{matrix} sin β = \frac{\sqrt[]{4 y^{2} z^{2} - {(y^{2} + z^{2} - p^{2})}^{2}}}{2 y z} . \end{matrix}

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

, ezért

γ = α + β

miatt

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{x^{2} + z^{2} - q^{2}}{2 x z} = cos γ = \\ = (\frac{x^{2} + y^{2} - r^{2}}{2 x y}) (\frac{y^{2} + z^{2} - p^{2}}{2 y z}) - \frac{\sqrt[]{4 x^{2} y^{2} - {(x^{2} + y^{2} - r^{2})}^{2}}}{2 x y} \cdot \frac{\sqrt[]{4 y^{2} z^{2} - {(y^{2} + z^{2} - p^{2})}^{2}}}{2 y z} = \\ = \frac{(x^{2} + y^{2} - r^{2}) (y^{2} + z^{2} - p^{2}) - \sqrt[]{(4 x^{2} y^{2} - {(x^{2} + y^{2} - r^{2})}^{2}) (4 y^{2} z^{2} - {(y^{2} + z^{2} - p^{2})}^{2})}}{4 x y^{2} z}, \end{matrix} \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 y^{2} (x^{2} + z^{2} - q^{2}) = \\ = (x^{2} + y^{2} - r^{2}) (y^{2} + z^{2} - p^{2}) - \sqrt[]{(4 x^{2} y^{2} - {(x^{2} + y^{2} - r^{2})}^{2}) (4 y^{2} z^{2} - {(y^{2} + z^{2} - p^{2})}^{2})} . \end{matrix} \end{matrix}

Ismert, hogy egy páratlan szám négyzete 8-cal osztva 1-et ad maradékul, ezért

y^{2} \equiv 1 (mod 8)

x^{2} + z^{2} - q^{2} \equiv 1 + 1 - 1 = 1 (mod 8)

, így

y^{2} (x^{2} + z^{2} - q^{2}) \equiv 1 (mod 8)

. Akkor pedig

2 y^{2} (x^{2} + z^{2} - q^{2}) \equiv 2 (mod 16)

.
Tehát az egyenlet bal oldalán olyan egész szám áll, amelynek maradéka 16-tal osztva 2. Akkor ez igaz lesz a jobb oldalon álló kifejezésre is.

x^{2} + y^{2} - r^{2} \equiv 1 (mod 8)

, és

y^{2} + z^{2} - p^{2} \equiv 1 (mod 8)

, ezért

(x^{2} + y^{2} - r^{2}) (x^{2} + z^{2} - p^{2}) \equiv 1 (mod 8)

, és így

(x^{2} + y^{2} - r^{2}) (y^{2} + z^{2} - p^{2})

maradéka 16-tal osztva 1 vagy

9 (= 8 + 1)

lehet. Így a jobb oldalon csak akkor állhat 16-tal osztva 2 maradékot adó szám, ha

\begin{matrix} \sqrt[]{(4 x^{2} y^{2} - {(x^{2} + y^{2} - r^{2})}^{2}) (4 y^{2} z^{2} - {(y^{2} + z^{2} - p^{2})}^{2})} \end{matrix}

maradéka 16-tal osztva

- 1

vagy 7. Akkor pedig

\begin{matrix} (4 x^{2} y^{2} - {(x^{2} + y^{2} - r^{2})}^{2}) (4 x^{2} z^{2} - {(y^{2} + z^{2} - p^{2})}^{2}) \end{matrix}

16-tal osztva biztosan 1-et ad maradékul. (

{(- 1)}^{2} \equiv 7^{2} \equiv 1 (mod 16)

x^{2} y^{2} \equiv 1 (mod 8)

, ezért

4 x^{2} y^{2} \equiv 4 (mod 32)

, és így

4 x^{2} y^{2} \equiv 4 (mod 16)

x^{2} + y^{2} - r^{2} \equiv 1 (mod 8)

, ezért

x^{2} + y^{2} - r^{2}

8 k + 1

alakú, és akkor

(x^{2} + y^{2} - r^{2}) \cdot {(8 k + 1)}^{2} = 64 k^{2} + 16 k + 1

alakú lesz. Tehát

{(x^{2} + y^{2} - r^{2})}^{2}

maradéka 16-tal osztva 1.
Így

4 x^{2} y^{2} - (x^{2} + y^{2} - r^{2}) \equiv 4 - 1 = 3 (mod 16)

.
Hasonlóan

4 y^{2} z^{2} - {(y^{2} + z^{2} - p^{2})}^{2} \equiv 3 (mod 16)

, így

\begin{matrix} (4 x^{2} y^{2} - {(x^{2} + y^{2} - r^{2})}^{2}) (4 y^{2} + z^{2} - {(y^{2} + z^{2} - p^{2})}^{2}) \equiv 3 \cdot 3 = 9 (mod 16) . \end{matrix}

De az előbb már beláttuk, hogy ennek a kifejezésnek 16-tal osztva a maradéka 1, ez ellentmondás, tehát feltevésünk helytelen volt.
Ugyanígy ellentmondásra jutunk abban az esetben is, ha a pontok konvex burka háromszög. Ha a négy pontot a 2. ábra szerint

A

B

C

D

-vel jelöljük, akkor az előbbi gondolatmenet elvégezhető az

A B D ∢

D B C ∢

A B C ∢

szögekre, és úgyanúgy ellentmondáshoz jutunk.
Ez azt jelenti, hogy nem létezik a síkon négy pont úgy, hogy bármely kettő távolsága páratlan egész szám legyen.

Valkó Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.)