Kezdőlap


Feladat:	Gy.3025	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Braun Gábor , Frenkel Péter , Juhász András , Molnár-Sáska Balázs , Nyul Gábor , Pintér Dömötör , Prause István , Reviczky Ágnes , Zawadowski Ádám
Füzet:	1996/május, 281 - 282. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/december: Gy.3025

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyettesítsük a függvényegyenletbe az $x = 0$ , $y = \sqrt[]{t}$ értékeket (ahol $t \geq 0$ valós szám):

\begin{matrix} f (t) = f {(0)}^{2} + t^{2} . \end{matrix}

A továbbiakban csak nemnegatív

x

-eket tekintünk. Ekkor az előző összefüggés szerint

f (x) = x + f {(0)}^{2}

, valamint

f ({(x - y)}^{2}) = {(x - y)}^{2} + f {(0)}^{2}

. Ezeket beírva a függvényegyenletbe:

\begin{matrix} \begin{matrix} {(x - y)}^{2} + f {(0)}^{2} & = {(x + f {(0)}^{2})}^{2} - 2 x \cdot f (y) + y^{2}, \\ x^{2} - 2 x y + y^{2} + f {(0)}^{2} & = x^{2} + f {(0)}^{4} + 2 x f {(0)}^{2} - 2 x f (y) + y^{2}, \\ 2 x \cdot (f (y) - y - f {(0)}^{2}) & = f {(0)}^{4} - f {(0)}^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

A kapott egyenlőség jobb oldala egy

x

-től és

y

-tól független állandó. Ha a bal oldalon

y

-t tetszőleges valós számként rögzítjük, akkor az

x

együtthatója is konstans lesz. Mivel

x

tetszőleges nemnegatív értéket felvehet, ez csak úgy lehetséges, hogy

x

együtthatója minden

y \in R

esetén nulla, valamint ekkor szükségképpen a jobb oldal is az:

\begin{matrix} f (y) = y + f {(0)}^{2}, f {(0)}^{4} - f {(0)}^{2} = 0. \end{matrix}

A második egyenletből

f {(0)}^{2} = 0

vagy 1 adódik, tehát a lehetséges

f

függvények az

f_{1} (y) = y

és az

f_{2} (y) = y + 1

. Ezek jók is, mint azt a következő számolás mutatja:

\begin{matrix} f_{1} ({(x - y)}^{2}) = {(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2} = f_{1} {(x)}^{2} - 2 x f_{1} (y) + y^{2}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} \begin{matrix} f_{2} ({(x - y)}^{2}) = {(x - y)}^{2} + 1 = x^{2} - 2 x y + y^{2} + 1 = x^{2} + 2 x + 1 - 2 x y - 2 x + y^{2} = \\ = {(x + 1)}^{2} - 2 x (y + 1) + y^{2} = f_{2} {(x)}^{2} - 2 x f_{2} (y) + y^{2} . \end{matrix} \end{matrix}