Kezdőlap


Feladat:	Gy.3021	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Badacsonyi Réka , Baksa Péter , Benke András , Bérczi Gergely , Biener Péter , Boros Márton , Gyenes Zoltán , Győri Nikolett , Homolya Dániel , Horváth Gábor , Koch Lívia , Kőműves Balázs , Kormos Márton , Lippner Gábor , Molnár-Sáska Balázs , Nyul Gábor , Szécsi Vajk , Szűcs Gergely , Terpai Tamás , Végh László , Zubcsek Péter Pál
Füzet:	1996/október, 409 - 410. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/november: Gy.3021

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keletkező 3 rész közül a két gömb metszete két egybevágó gömbszeletből áll. Ha a gömbszeletek magassága $m$ , alapkörének sugara pedig $r$ , akkor együttes térfogatuk $2 \cdot \frac{π}{6} m (3 r^{2} + m^{2})$ .
Ha most az egyik egységsugarú gömböt vizsgáljuk, annak a metszetbe eső, illetve azon kívüli részének térfogata megegyezik. A két térfogat összege éppen a gömb térfogata, ezért külön-külön mindegyik annak a fele. Az egységsugarú gömb térfogatának fele $\frac{2 π}{3}$ , így kapjuk a

\begin{matrix} \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3} \cdot m (3 r^{2} + m^{2}) \end{matrix}

(1)

egyenletet.
Jelöljük a két gömb középpontjának távolságát

2 a

-val. Az ábra alapján ‐ amelyik a gömböknek egy olyan síkkal való metszetét ábrázolja, amely sík mindkét középpontot tartalmazza ‐ nyilvánvaló, hogy

\begin{matrix} m = 1 - a és r = \sqrt[]{1 - a^{2}} . \end{matrix}

Ezeket beírva az (1) egyenletbe, majd rendezve azt:

\begin{matrix} a^{3} - 3 a + 1 = 0. \end{matrix}

(2)

Ennek az egyenletnek kell meghatároznunk a

(0; 1)

intervallumba eső gyökeit. Ha

0 < a < 1

, akkor van (pontosan egy) olyan

γ

hegyesszög, amelyre

cos γ = \frac{a}{2}

. A (2) egyenletbe

a = 2 cos γ

-t helyettesítve:

\begin{matrix} 8 cos^{3} γ - 6 cos γ + 1 = 0 \end{matrix}

(3)

adódik. Ismert, hogy

cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x

, ezért (3)-t írhatjuk

\begin{matrix} 2 cos 3 γ + 1 = 0 \end{matrix}

alakban is. Tehát

cos 3 γ = - \frac{1}{2}

. Ebből az egyenletből

γ = \frac{4 π}{9}

(figyelembe véve, hogy

\frac{π}{3} < γ < \frac{π}{2}

).
Így a keresett távolság,

O_{1} O_{2} = 2 a = 4 cos \frac{4 π}{9} \approx 0,695

Megjegyzés. Mivel a harmadfokú egyenletek megoldása nem szerepel a középiskolai tanagyagban, ezért teljes megoldásnak fogadtuk el a (2) egyenlet bármilyen közelítő, vagy grafikus megoldását is.