|
Feladat: |
Gy.3021 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Badacsonyi Réka , Baksa Péter , Benke András , Bérczi Gergely , Biener Péter , Boros Márton , Gyenes Zoltán , Győri Nikolett , Homolya Dániel , Horváth Gábor , Koch Lívia , Kőműves Balázs , Kormos Márton , Lippner Gábor , Molnár-Sáska Balázs , Nyul Gábor , Szécsi Vajk , Szűcs Gergely , Terpai Tamás , Végh László , Zubcsek Péter Pál |
Füzet: |
1996/október,
409 - 410. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Gömb és részei, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1995/november: Gy.3021 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A keletkező 3 rész közül a két gömb metszete két egybevágó gömbszeletből áll. Ha a gömbszeletek magassága , alapkörének sugara pedig , akkor együttes térfogatuk . Ha most az egyik egységsugarú gömböt vizsgáljuk, annak a metszetbe eső, illetve azon kívüli részének térfogata megegyezik. A két térfogat összege éppen a gömb térfogata, ezért külön-külön mindegyik annak a fele. Az egységsugarú gömb térfogatának fele , így kapjuk a egyenletet. Jelöljük a két gömb középpontjának távolságát -val. Az ábra alapján ‐ amelyik a gömböknek egy olyan síkkal való metszetét ábrázolja, amely sík mindkét középpontot tartalmazza ‐ nyilvánvaló, hogy Ezeket beírva az (1) egyenletbe, majd rendezve azt: Ennek az egyenletnek kell meghatároznunk a intervallumba eső gyökeit. Ha , akkor van (pontosan egy) olyan hegyesszög, amelyre . A (2) egyenletbe -t helyettesítve: adódik. Ismert, hogy , ezért (3)-t írhatjuk alakban is. Tehát . Ebből az egyenletből (figyelembe véve, hogy ). Így a keresett távolság, .
Megjegyzés. Mivel a harmadfokú egyenletek megoldása nem szerepel a középiskolai tanagyagban, ezért teljes megoldásnak fogadtuk el a (2) egyenlet bármilyen közelítő, vagy grafikus megoldását is.
|
|