A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha egy szabályos háromszög csúcsai a nagyobbik körön vannak, akkor beírt köre éppen a kisebbik kör (1. ábra). Az ilyen tulajdonságú szabályos háromszögek területe területegység. Megmutatjuk, hogy ha az sokszög tartalmazza a kisebbik kört, csúcsai pedig a nagyobbik körön vannak, akkor a területe legalább . ; ; ; ; 2. ábra Tekintsünk most két tetszőleges sugarú koncentrikus kört, és legyen a nagyobbikba írt sokszög, amelyik tartalmazza a kisebb kört, . Jelöljük a körök középpontját -val. A sokszög területe megegyezik az (, , ; ) háromszögek területeinek összegével. Ez a területösszeg nyilván nem változik, ha a háromszögek sorrendjét megváltoztatjuk. Rakjuk egymás mellé azokat a háromszögeket, amelyek oldala érinti a kisebbik kört, majd ezután változtassuk meg a csúcsok betűzését úgy, hogy az , , , oldalak legyenek azok, amelyek érintik a kisebbik kört; az , , , , oldalak pedig azok, amelyek nem érintik (a 2. ábrán ezt láthatjuk ötszög esetén). Az így kapott sokszög területe megegyezik az eredeti sokszög területével. Vizsgáljuk most az , , , , egyeneseket. Legyen ezek közül ‐ ilyen sorrendben ‐ az első olyan, amelyik metszi a kisebbik kört. Ekkor az -ből a kisebbik körhöz húzott -tól különböző érintőnek a nagy körrel való -től különböző metszéspontját jelöljük -gyel (3. ábra). Az háromszög területe kisebb, mint az háromszög területe, mert közelebb van az egyeneshez, mint (ugyanis és nem metszhetik a kis kört). Tehát az sokszög területe kisebb, mint az sokszög területe. Ezután ismételjük meg ezt a ,,levágási'' eljárást úgy, hogy szerepét veszi át. Véges sok vágás után ‐ az új pontokat rendre , , , -vel jelölve ‐ elérjük, hogy a egyenes még nem metszi (esetleg érinti), a egyenes viszont metszi a kis kört. A kapott sokszög az egybevágóság erejéig egyértelmű, ezért az eljárásból következően ez a legkisebb területű azon sokszögek közül, melyek tartalmazzák a kis kört, csúcsaik pedig a nagy körön vannak. Ezt a sokszöget azzal jellemezhetjük, hogy ‐ legfeljebb egy oldala () kivételével ‐ mindegyik oldala érinti a kis kört (4. ábra). Ez a tulajdonság a két kör sugarának arányától függetlenül mindig igaz a minimális területű sokszögre. Visszatérve eredeti feladatunkra, ha a két kör sugara 1, illetve 2, akkor éppen a nagy körbe írható szabályos háromszöget kapjuk, mint a követelményeket kielégítő, minimális területű sokszöget. Ha egy a nagy körbe írt szabályos háromszög, pedig a rövidebbik ív egy -hez ,,közel'' lévő pontja, akkor az húrnégyszög (5. ábra) területe nagyobb, mint az háromszög területe, de tetszőlegesen megközelítheti azt. Tehát a nagyobbik körbe írt és a kisebbik kört tartalmazó húrnégyszögek területe nagyobb mint , de tetszőlegesen megközelítheti ezt az értéket.
Megjegyzés. Az 1 pontot kapott versenyzők nem adtak megfelelő indoklást a -as határértékre, a 0 pontosak helytelen következtetésre jutottak.
|