Feladat:	Gy.3010	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely ,  Szalai-Dobos András
Füzet:	1996/március, 160 - 161. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: Gy.3010

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Ismert, hogy egy háromszög pontosan akkor hegyesszögű, ha (egyik) legnagyobb oldalának négyzete kisebb, mint a másik két oldal négyzetének összege. Ha $c^3=a^3+b^3$, akkor $c$ a háromszög legnagyobb oldala. Megmutatjuk, hogy $c^2<a^2+b^2$. A $c^3=a^3+b^3$ egyenlőség mindkét oldalát $c$-vel osztva, majd felhasználva, hogy $c>a$ és $c>b$: $\begin{array}{c}{\displaystyle c^2=\frac{c^3}{c}=\frac{a^3+b^3}{c}<\frac{a^3}{a}+\frac{b^3}{b}=a^2+b^2\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát a háromszög hegyesszögű.  Szalai-Dobos András (Szekszárd, Garay J. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján   II. megoldás. A $c^2<a^2+b^2$ egyenlőtlenséget bizonyítjuk másképpen. A feltételből következik, hogy $c^2=\sqrt[3]{{\left(a^3+b^3\right)}^2}$. Elegendő tehát megmutatnunk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{{\left(a^3+b^3\right)}^2}<a^2+b^2\mathrm{,}}\end{array}$ vagy ami ezzel ekvivalens: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a^3+b^3\right)}^2<{\left(a^2+b^2\right)}^3\mathrm{.}}\end{array}$ A hatványozást elvégezve és rendezve az egyenlőtlenséget, kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<3a^4{b}^2+3a^2{b}^4-2a^3{b}^3\mathrm{.}}\end{array}$ Ez az egyenlőtlenség viszont nyilvánvalóan teljesül, mert $\begin{array}{c}{\displaystyle 3a^4{b}^2+3a^2{b}^4-2a^3{b}^3=a^2{b}^2\left(3a^2+3b^2-2ab\right)=a^2{b}^2\left({\left(a-b\right)}^2+2a^2+2b^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát a háromszög hegyesszögű.   Megjegyzés. Ha $n>2$ természetes szám, és az $a$, $b$, $c$ oldalú háromszögre teljesül, hogy $a^n+b^n=c^n$, akkor a háromszög hegyesszögű. Ez legegyszerűbben az I. megoldásban szereplő módszerrel látható be: $\begin{array}{c}{\displaystyle c^2=\frac{c^n}{c^{n-2}}=\frac{a^n+b^n}{c^{n-2}}=a^2{\left(\frac{a}{c}\right)}^{n-2}+b^2{\left(\frac{b}{c}\right)}^{n-2}<a^2+b^2\mathrm{.}}\end{array}$  Bérczi Gergely (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o.t.)