Kezdőlap


Feladat:	Gy.3008	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Kormos Márton , Radnai Zoltán , Végh Zoltán , Zubcsek Péter Pál
Füzet:	1996/március, 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: Gy.3008

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a táblázat $m$ -edik sorában és $n$ -edik oszlopában álló elemet $a_{m, n}$ ( $m$ , $n \geq 1$ ). Az első oszlop egy számtani sorozatot alkot, amelynek kezdőtagja $4$ , és különbsége $3$ , így

\begin{matrix} a_{m,1} = 4 + 3 \cdot (m - 1) = 1 + 3 m . \end{matrix}

m

-edik sor szintén számtani sorozat,

a_{m,1}

kezdőtaggal és

2 m + 1

differenciával, azaz

\begin{matrix} a_{m, n} = a_{m,1} + (2 m + 1) (n - 1) = 1 + 3 m + 2 m n - 2 m + n - 1 = 2 m n + m + n . \end{matrix}

Tegyük föl, hogy

a_{m, n} = k

, ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} k & = 2 m n + m + n, \\ 2 k + 1 & = 4 m n + 2 m + 2 n + 1 = (2 m + 1) (2 n + 1) . \end{matrix} \end{matrix}

k = 1994

esetben ebből

\begin{matrix} 3989 = (2 m + 1) (2 n + 1) \end{matrix}

adódik. Azonban a 3989 prím, így nem bontható fel két egynél nagyobb egész szám szorzatára. Az 1994 tehát nem szerepel a táblázatban.
A

k = 1995

esetben

\begin{matrix} 3991 = (2 m + 1) (2 n + 1) . \end{matrix}

(1)

Mivel a 3991 prímtényezős felbontása

13 \cdot 307

, azért az (1)-beli felírás a következő két módon lehetséges:

2 m + 1 = 13

és

2 n + 1 = 307

, azaz

m = 6

és

n = 153

, valamint megfordítva,

2 m + 1 = 307

és

2 n + 1 = 13

, vagyis

m = 153

és

n = 6

. Az 1995 tehát két helyen fordul elő: a 6-odik sor 153-adik elemeként és a 153-adik sor 6-odik elemeként.

Radnai Zoltán (Budapest, Alternatív Közgazd. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján