Kezdőlap


Feladat:	Gy.3007	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Gábor , Kormos Márton , Magyar Tamás , Pap Júlia , Pethő Anita , Szalai-Dobos András
Füzet:	1996/március, 159 - 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Teljes indukció módszere, Rekurzív sorozatok, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: Gy.3007

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Belátjuk, hogy minden pozitív egész esetén

\begin{matrix} 1,5 a_{n} \leq a_{n + 1} \leq 2 a_{n} \end{matrix}

(1)

teljesül. A jobb oldali egyenlőtlenség belátására teljes indukciót alkalmazunk. Az

n = 1

és

n = 2

esetben az állítás könnyen ellenőrizhető. Tegyük föl ezek után, hogy (1)-et már igazoltuk

n

-re, és lássuk be ebből

n + 1

-re is.
Mivel az

a_{n}

sorozat szigorúan monoton növő, azért

a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1} < a_{n} + a_{n} = 2 a_{n}

, ezzel (1) jobb oldalát beláttuk. Ennek alapján

a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1} \geq a_{n} + 0,5 a_{n} = 1,5 a_{n}

, ami a bal oldali egyenlőtlenség érvényességét mutatja. Ezzel állításunkat beláttuk.
Ebből viszont nyilvánvalóan következik, hogy

\begin{matrix} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} - \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} | \leq \frac{1}{2} < 1, \end{matrix}

amivel a feladat állításánál többet is igazoltunk.

Pethő Anita (Kazincbarcika, Ságvári E. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján