Kezdőlap


Feladat:	Gy.2994	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Berényi Ágnes , Deli Tamás , Dombi Gábor , Jakabfy Tamás , Katona Zsolt , Kutalik Zoltán , Lippner Gábor , Méder Áron , Molnár Rita , Nyakas Péter , Paál Krisztina , Pálfi Nóra , Pap Gyula , Papp Ágnes , Pintér Dömötör , Pogány Ádám , Reviczky Ágnes , Szilágyi Jenő , Szilágyi Judit , Szilágyi Zoltán , Zawadowski Ádám
Füzet:	1996/január, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vektorok felbontása összetevőkre, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/május: Gy.2994

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük az $a$ , $b$ egyenespárt a koordinátarendszer tengelyeinek. Legyen az $x$ irányú egységvektor $x$ , az $y$ irányú pedig $y$ . Jelöljük $O$ -val a koordinátarendszer kezdőpontját, $F$ -fel $A B$ felezőpontját, $c$ -vel pedig $A B$ hosszát.
Mivel $A$ és $B$ az $x$ , illetve $y$ tengelyen mozog, azért az $\vec{A O}$ , illetve $\vec{O B}$ vektorokat felírhatjuk $2 e x$ , illetve $2 f y$ alakban, ahol $2 e$ és $2 f$ $- c$ és $c$ közé eső valós számok. $F$ az $A B$ felezőpontja, tehát $\vec{O F} = (\vec{O A} + \vec{O B}) / 2 = e x + f y$ ; ebből $\vec{A F} = f y - e x$ . Feltehetjük, hogy az $A B C$ háromszög pozitív körüljárású. Ekkor az $\vec{F C}$ az $\vec{A F}$ vektor $+ 90^{\circ}$ -os elforgatottja, tehát $\vec{F C} = - f x - e y$ . Az $\vec{O C}$ -t $\vec{O F}$ és $\vec{F C}$ összegeként kapjuk:

\begin{matrix} \vec{O C} = (e - f) x + (f - e) y . \end{matrix}

Ezért a

C

mindig rajta van az

y = - x

egyenletű egyenesen. (Ha

A B C

negatív körüljárású, akkor

\vec{O C} = (e + f) x + (e + f) y

, azaz

C

y = x

egyenletű egyenesen helyezkedik el.)
Pitagorasz tétele szerint

O A^{2} + O B^{2} = A B^{2}

, azaz

4 e^{2} + 4 f^{2} = c^{2}

. Ezt felhasználva:

\begin{matrix} | e - f | = \sqrt[]{{(e - f)}^{2}} = \sqrt[]{e^{2} + f^{2} - 2 e f} \leq \sqrt[]{e^{2} + f^{2}} = \frac{c}{2} . \end{matrix}

Vagyis

C

első koordinátája

- \frac{c}{2}

és

\frac{c}{2}

közé esik. Könnyen látható, hogy tetszőleges

- \frac{c}{2} \leq x \leq \frac{c}{2}

értékhez van olyan

e

és

f

, amelyre

C

első koordinátája éppen

x

. Tehát

C

y = - x

egyenletű egyenes

- \frac{c}{2} \leq x \leq \frac{c}{2}

feltételekkel meghatározott szakaszán mozog. (Ha

A B C

negatív körüljárású, akkor az

y = x

egyenes ugyanezen feltételekkel leírt szakaszán.)
Ugyanezt koordináták nélkül megfogalmazva:

C

A B C

körüljárásától függően

a

és

b

egyik szögfelezőjén mozog úgy, hogy

a

és

b

metszéspontjától való távolsága legfeljebb akkora, mint a háromszög befogója.

Katona Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., I. o.t.)

Megjegyzés. A példában leírt mozgatást igen könnyen megvalósíthatjuk egy nagyobb papírra rajzolt két merőleges egyenes és egy derékszögű vonalzó segítségével. Innen könnyen ,,megsejthető'' a keresett mértani hely. (Természetesen a bizonyítást ez nem helyettesíti!)