|
Feladat: |
Gy.2994 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bérczi Gergely , Berényi Ágnes , Deli Tamás , Dombi Gábor , Jakabfy Tamás , Katona Zsolt , Kutalik Zoltán , Lippner Gábor , Méder Áron , Molnár Rita , Nyakas Péter , Paál Krisztina , Pálfi Nóra , Pap Gyula , Papp Ágnes , Pintér Dömötör , Pogány Ádám , Reviczky Ágnes , Szilágyi Jenő , Szilágyi Judit , Szilágyi Zoltán , Zawadowski Ádám |
Füzet: |
1996/január,
24 - 25. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Vektorok felbontása összetevőkre, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1995/május: Gy.2994 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vegyük az , egyenespárt a koordinátarendszer tengelyeinek. Legyen az irányú egységvektor , az irányú pedig . Jelöljük -val a koordinátarendszer kezdőpontját, -fel felezőpontját, -vel pedig hosszát. Mivel és az , illetve tengelyen mozog, azért az , illetve vektorokat felírhatjuk , illetve alakban, ahol és és közé eső valós számok. az felezőpontja, tehát ; ebből . Feltehetjük, hogy az háromszög pozitív körüljárású. Ekkor az az vektor -os elforgatottja, tehát . Az -t és összegeként kapjuk: Ezért a mindig rajta van az egyenletű egyenesen. (Ha negatív körüljárású, akkor , azaz az egyenletű egyenesen helyezkedik el.) Pitagorasz tétele szerint , azaz . Ezt felhasználva: | | Vagyis első koordinátája és közé esik. Könnyen látható, hogy tetszőleges értékhez van olyan és , amelyre első koordinátája éppen . Tehát az egyenletű egyenes feltételekkel meghatározott szakaszán mozog. (Ha negatív körüljárású, akkor az egyenes ugyanezen feltételekkel leírt szakaszán.) Ugyanezt koordináták nélkül megfogalmazva: az körüljárásától függően és egyik szögfelezőjén mozog úgy, hogy és metszéspontjától való távolsága legfeljebb akkora, mint a háromszög befogója.
Katona Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., I. o.t.) |
Megjegyzés. A példában leírt mozgatást igen könnyen megvalósíthatjuk egy nagyobb papírra rajzolt két merőleges egyenes és egy derékszögű vonalzó segítségével. Innen könnyen ,,megsejthető'' a keresett mértani hely. (Természetesen a bizonyítást ez nem helyettesíti!)
|
|