Kezdőlap


Feladat:	Gy.2993	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Elek Péter , Fejős Ibolya , Lippner Gábor , Nyakas Péter , Vincze László
Füzet:	1996/március, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/május: Gy.2993

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük föl, hogy valamely $A = 100 a + 10 b + c$ prímszám esetén van racionális gyök, azaz léteznek olyan $p$ , $q$ egészek, $(p, q) = 1$ , hogy

\begin{matrix} a {(\frac{p}{q})}^{2} + b \frac{p}{q} + c = 0. \end{matrix}

Látható, hogy szükségképpen

\frac{p}{q} < 0

, vagyis feltehetjük, hogy

p > 0

q < 0

. Az egyenletet

q^{2}

-tel szorozva:

\begin{matrix} a p^{2} + b p q + c q^{2} = 0. \end{matrix}

(1)

Megvizsgálva a

p

-vel és

q

-val való oszthatóságot, azt kapjuk, hogy

q ∣ a

és

p ∣ c

, vagyis

a = k q

c = l p

. Mivel

a

c > 0

, azért

k < 0

és

l > 0

.
(1)-ből kifejezve

a p

-t és ezt

p A

-ba írva, majd átrendezve:

\begin{matrix} \begin{matrix} p A & = 100 (- b q - l q^{2}) + 10 b p + l p^{2} = \\ = 10 b (p - 10 q) + l (p^{2} - 100 q^{2}) = (p - 10 q) (10 b + l p + 10 l q) . \end{matrix} \end{matrix}

A jobb oldal osztható

(p - 10 q)

-val, így a bal oldal is. Azonban

p - 10 q > p

, tehát

p - 10 q ∤ p

. Ez azt jelenti, hogy

p - 10 q

és

A

nem relatív prímek, ami viszont csak úgy lehet ‐ lévén

A

prímszám ‐, ha

p - 10 q

osztható

A

-val. Ám ez lehetetlen, mert

\begin{matrix} A = 100 k q + 10 b + l p > - 10 q + p, \end{matrix}

hiszen

100 k \leq - 100

, és így

100 k q \geq - 100 q > - 10 q

, valamint

l p \geq p

. Ellentmondásra jutottunk, tehát nem létezhet olyan háromjegyű prímszám, amelynek

a

b

c

jegyeire az

a x^{2} + b x + c = 0

egyenletnek lenne racionális megoldása.

Megjegyzés. A másodfokú egyenlet megoldóképletét használva is célhoz érhetünk: abból ugyanis látható, hogy

b^{2} - 4 a c

négyzetszám kell legyen. Ez pedig viszonylag egyszerűen végignézhető az összes háromjegyű prímszámra.