Kezdőlap


Feladat:	Gy.2991	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Czirok Levente , Deli Tamás , Gáspár László , Lipusz Gabriella , Megyeri Csaba , Nyul Gábor , Pap Gyula , Szilágyi Judit , Végh László , Visontai Mirkó , Zubcsek Péter Pál
Füzet:	1996/március, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/május: Gy.2991

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először az a) részt igazoljuk. Mivel $i \leq 2 n$ -re $\frac{1}{i} \geq \frac{1}{2 n}$ , így

\begin{matrix} \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2 n} \geq n \cdot \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

és

n \geq 2

esetén szigorú egyenlőtlenség áll.
Ezt az eredményt felhasználva már könnyen megválaszolhatjuk a b) rész kérdését. Az

n

helyébe

2^{0}

-t,

2^{1}

-t,

...

2^{l}

-t téve,

\begin{matrix} \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}, \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}, \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{8} > \frac{1}{2}, \frac{1}{2^{l} + 1} + ... + \frac{1}{2^{l + 1}} > \frac{1}{2} . \end{matrix}

Legyen ezek után

n = 2^{k}

, ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{2^{l} + 1} + ... + \frac{1}{2^{l + 1}}) + ... + (\frac{1}{2^{k - 1} + 1} + ... + \frac{1}{2^{k}}) > \\ > 1 + \frac{k - 1}{2} = \frac{k + 1}{2} . \end{matrix} \end{matrix}

k = 2 \cdot 10^{1995} - 1

választással ez éppen azt jelenti, hogy

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} > 10^{1995} . \end{matrix}

Katona Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Belátható az is, hogy az

\frac{1}{n + 1} + ... + \frac{1}{2 n}

összeg

n

-ben monoton növő, és határértéke

ln 2 \approx 0, 693

(vagyis az

n

növelésével értéke mind jobban megközelíti

ln 2

-t).
Az

1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n}

ún. harmonikus sorra pedig az igaz, hogy értéke körülbelül

ln (n + 1)

, ami szintén jól mutatja, hogy tetszőlegesen nagy lehet.