Kezdőlap


Feladat:	Gy.2983	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdélyi Tibor , Nyilas Gábor , Pap Gyula
Füzet:	1996/február, 81 - 82. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/április: Gy.2983

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Induljunk ki az

\begin{matrix} x = a + \sqrt[]{x} \end{matrix}

(1)

egyenletből. Ez csak

x \geq 0

esetén értelmezett. Ebből

a + \sqrt[]{x} = x \geq 0

miatt gyököt vonhatunk:

\begin{matrix} \sqrt[]{x} = \sqrt[]{a + \sqrt[]{x}}, \end{matrix}

majd ezt (1)-be visszahelyettesítve

\begin{matrix} x = a + \sqrt[]{a + \sqrt[]{x}} \end{matrix}

(2)

adódik. Tehát, ha

x

megoldása (1)-nek, akkor (2)-nek is.
Nézzük most a fordított irányt. Legyen

x

megoldása a (2) egyenletnek. Ekkor

\begin{matrix} x - a = \sqrt[]{a + \sqrt[]{x}} \geq 0, \end{matrix}

(3)

ezt négyzetre emelve és kifejtve, majd szorzattá alakítva:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} + a^{2} - 2 a x = a + \sqrt[]{x}, \\ (x - a - \sqrt[]{x}) (x - a + \sqrt[]{x} + 1) = 0. \end{matrix} \end{matrix}

Ebből következik, hogy

x - a - \sqrt[]{x} = 0

vagy

x - a + \sqrt[]{x} + 1 = 0

. Az utóbbi eset nem lehetséges, mert különben

\begin{matrix} x - a = - 1 - \sqrt[]{x} < 0 \end{matrix}

teljesülne, ami ellentmond (3)-nak. Tehát szükségképpen

\begin{matrix} x - a - \sqrt[]{x} = 0, \end{matrix}

és ez éppen azt jelenti, hogy

x

megoldása az (1) egyenletnek is.

Nyilas Gábor (Budapest, Szent István Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján