Feladat: Gy.2981 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Czirok Levente ,  Deli Tamás ,  Elek Péter ,  Frenkel Péter ,  Kocsis Zoltán ,  Pap Gyula ,  Penkalo Alex ,  Ugron Balázs ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1996/január, 20 - 21. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Négyszög alapú gúlák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/március: Gy.2981

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a gúla csúcsai A, B, C, D és E; messe az AB alapélre illeszkedő sík a DCE lapot az FG szakaszban. Az F. 3021. feladat szerint (megoldását lásd lapunk 1995/2. számának 97. oldalán), ha DCFG=5+12, akkor az ABFG sík felezi a gúla térfogatát. AB-re nyilván pontosan egy térfogatfelező sík illeszkedik, ezért a feladatunkban szereplő, az ABCD síkkal 30-os szöget bezáró síkra is igaz, hogy DCFG=5+12=25-1.
Jelöljük az AB, CD és FG szakaszok felezőpontjait rendre X, Y, Z-vel, E-nek és Z-nek az ABCD síkon levő merőleges vetületét pedig M-mel, illetve T-vel. Mivel ABCDE egyenes gúla, azért az M, T és Z pontok benne vannak az EXY síkban, a ZXY szög pedig megegyezik ABCD és ABFG szögével, vagyis 30 (2. ábra). Nyilvánvaló, hogy XY=2 és MX=MY=1. A párhuzamos szelők tétele alapján

MTMY=EZEY=FZDY=FGDC=5-12.
Ebből MT=5-12 adódik.
A ZTX háromszög egy szabályos háromszög fele, ezért ZT3=TX=XM+MT=5+12, amiből ZT=15+36. Végül ismét a párhuzamos szelők tételét használva:
EMMY=ZTTY=ZTMY-MT=15+361-5-12.
Ebből egyszerű számolással kapjuk, hogy EM=15+233.
Tehát a gúla testmagassága 15+2332,45 cm.
 Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) és
 
 Kocsis Zoltán (Fonyód, Mátyás Király Gimn., III. o.t.) dolgozatai alapján