A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ismert, hogy két egyenesre való tükrözés egymásutánja vagy elforgatás, vagy eltolás. Ha az és egyenesek az pontban metszik egymást és az általuk bezárt szög , akkor az körüli szögű elforgatás egyezik meg a két tükrözés egymásutánjával (1. ábra); ha pedig a két egyenes párhuzamos és távolságuk , akkor az egyenesekre merőleges, távolságú eltolás lesz a két tükrözés egymásutánjának eredménye (2. ábra). A forgatás, illetve az eltolás irányítása pedig attól függ, hogy és közül melyikre tükrözünk először. Ezért az , majd -re vonatkozó tükrözések helyettesíthetők egy középpontú szögű elforgatással, a -re és -ra való tükrözések pedig egy középpontú szögű elforgatással. Ezek a forgatások helyettesíthetők két-két tengelyes tükrözéssel, és feltehetjük, hogy az egyik tengely mindkét esetben a egyenes. Legyen tehát az a -n átmenő, pedig az a -n átmenő egyenes, amelyekre a -re, majd -re; illetve a -re, majd -ra való tükrözések egymásutánja megegyezik a középpontú szögű, illetve a középpontú szögű elforgatásokkal. -t és -t a 3. ábrán látható szögegyenlőségel figyelembevételével egyszerűen megszerkesztjük. Így az négyszög négy oldalegyenesére való tükrözés egymásutánja helyettesíthető a -re, -re, megint -re, majd -re vonatkozó tükrözésekkel. Ez viszont ugyanaz, mintha csak -re, majd -re tükrözünk, mert egy egyenesre való kétszeri egymás utáni tükrözés helybenhagyás. Feladatunkat tehát visszavezettük arra, hogy a -re, majd -ra vonatkozó tükrözések egymásutánjának hány fixpontja van. A két tükrözés egymásutánja eltolás, ha . Ez pontosan akkor következik be, ha (4. ábra), azaz ha húrnégyszög. Egy (nem identikus) eltolásnak nincs fixpontja, tehát ekkor nincs a síkon olyan pont, amely végül visszajut az eredeti helyére. Ha és a pontban metszi egymást (3. ábra), akkor a transzformáció egy körüli ‐ -nál kisebb szögű ‐ forgatás, aminek az egyetlen fixpontja. Összefoglalva tehát a síkon vagy nincs olyan pont, vagy pedig egy olyan pont van, amelyiket az , , és egyenesekre egymás után tükrözve végül visszajut az eredeti helyére, attól függően, hogy húrnégyszög vagy nem.
|