Feladat: Gy.2979 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárány Kristóf ,  Csapó Adrián ,  Egri Győző ,  Jakabfy Tamás ,  Katona Zsolt ,  Kiss László ,  Koncz Imre ,  Mátrai Tamás ,  Mátyási István ,  Megyeri Csaba ,  Mile Veronika ,  Molnár-Sáska Balázs ,  Nyakas Péter ,  Pap Gyula ,  Puskás Péter ,  Reviczky Ágnes ,  Szabados Péter ,  Szilágyi Jenő ,  Terpai Tamás ,  Tóth László ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1996/január, 19 - 20. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Eltolás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/március: Gy.2979

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismert, hogy két egyenesre való tükrözés egymásutánja vagy elforgatás, vagy eltolás. Ha az e és f egyenesek az M pontban metszik egymást és az általuk bezárt szög α, akkor az M körüli 2α szögű elforgatás egyezik meg a két tükrözés egymásutánjával (1. ábra); ha pedig a két egyenes párhuzamos és távolságuk d, akkor az egyenesekre merőleges, 2d távolságú eltolás lesz a két tükrözés egymásutánjának eredménye (2. ábra). A forgatás, illetve az eltolás irányítása pedig attól függ, hogy e és f közül melyikre tükrözünk először.
Ezért az AB, majd BC-re vonatkozó tükrözések helyettesíthetők egy B középpontú 2ABC szögű elforgatással, a CD-re és DA-ra való tükrözések pedig egy D középpontú 2CDA szögű elforgatással. Ezek a forgatások helyettesíthetők két-két tengelyes tükrözéssel, és feltehetjük, hogy az egyik tengely mindkét esetben a BD egyenes. Legyen tehát g az a B-n átmenő, h pedig az a D-n átmenő egyenes, amelyekre a g-re, majd BD-re; illetve a BD-re, majd h-ra való tükrözések egymásutánja megegyezik a B középpontú 2ABC szögű, illetve a D középpontú 2CDA szögű elforgatásokkal. g-t és h-t a 3. ábrán látható szögegyenlőségel figyelembevételével egyszerűen megszerkesztjük. Így az ABCD négyszög négy oldalegyenesére való tükrözés egymásutánja helyettesíthető a g-re, BD-re, megint BD-re, majd h-re vonatkozó tükrözésekkel. Ez viszont ugyanaz, mintha csak g-re, majd h-re tükrözünk, mert egy egyenesre való kétszeri egymás utáni tükrözés helybenhagyás. Feladatunkat tehát visszavezettük arra, hogy a g-re, majd H-ra vonatkozó tükrözések egymásutánjának hány fixpontja van.
A két tükrözés egymásutánja eltolás, ha gh. Ez pontosan akkor következik be, ha ABC+CDA=180 (4. ábra), azaz ha ABCD húrnégyszög. Egy (nem identikus) eltolásnak nincs fixpontja, tehát ekkor nincs a síkon olyan pont, amely végül visszajut az eredeti helyére. Ha g és h a P pontban metszi egymást (3. ábra), akkor a transzformáció egy P körüli ‐ 360-nál kisebb szögű ‐ forgatás, aminek P az egyetlen fixpontja.
Összefoglalva tehát a síkon vagy nincs olyan pont, vagy pedig egy olyan pont van, amelyiket az AB, BC, CD és DA egyenesekre egymás után tükrözve végül visszajut az eredeti helyére, attól függően, hogy ABCD húrnégyszög vagy nem.