Kezdőlap


Feladat:	Gy.2977	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Burcsi Péter , Elek Péter , Gröller Ákos , Hangya Balázs , Lippner Gábor , Mátrai Tamás , Nyul Gábor , Pintér Dömötör , Ruzsa Gábor , Sánta Zsuzsa , Tóth Gábor Zsolt , Ugron Balázs , Varga Péter , Véber Miklós , Zsíros András
Füzet:	1996/január, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számelrendezések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/március: Gy.2977

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a körre írt számokat (sorrendben) $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{n}$ , és képezzük az

\begin{matrix} S = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + ... + a_{n} a_{1} \end{matrix}

összeget. Vizsgáljuk meg, hogyan változik

S

értéke egy csere során. Legyen a négy egymás utáni szám

a

b

c

d

. A cserével

b

és

c

pozíciója változik, így az

S

-et alkotó összegben a következő változások jelentkeznek:

\begin{matrix} S' = S - a b - c d + a c + b d, \end{matrix}

hiszen kezdetben

(a b)

(b c)

(c d)

voltak szomszédosak, a csere után pedig

(a c)

(c b)

(b d)

, más változás nem történt. Tehát

\begin{matrix} S' - S = a c + b d - a b - c d = - (a - d) (b - c), \end{matrix}

és ez a feltételek miatt pozitív, következésképpen

S

értéke egy lépés alatt szigorúan nő. Azonban csak véges sok értéket vehet föl: a számok ciklikus sorrendje már egyértelműen meghatározza

S

-et, azaz legfeljebb

(n - 1)!

-féle lehet. Mindez viszont azt jelenti, hogy legfeljebb ennyi lépés után

S

már nem nőhet tovább, vagyis nem végezhető további csere.

Varga Péter (Békéscsaba, Kemény G. Szki., I. o.t.) dolgozata alapján