Kezdőlap


Feladat:	Gy.2975	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Pintér Dömötör
Füzet:	1996/január, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/március: Gy.2975

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Átalakítások után a feltételek így foglalhatók össze:

\begin{matrix} \begin{matrix} (a - c) (a + c) & > d - b & (1) \\ a - c & > (d - b) (d + b) & (2) \\ a, b, c, d & \geq \frac{1}{2} . & (3) \end{matrix} \end{matrix}

Tegyük föl először, hogy

a \leq c

, azaz

a - c \leq 0

. A (3)-ból

a + c \geq 1

; ezt

(a - c)

-vel szorozva (a relációjel közben persze megfordul):

\begin{matrix} (a - c) (a + c) \leq a - c . \end{matrix}

Az eredményt (1)-gyel összevetve

\begin{matrix} d - b < (a - c) (a + c) \leq a - c, \end{matrix}

rendezve a kívánt

d + c < a + b

adódik.
Vizsgáljuk ezután az

a > c

esetet, először a

d \geq b

feltevés mellett. Ekkor (3) alapján

d + b \geq 1

, ezt

(d - b)

-vel szorozva és (2)-vel kombinálva:

\begin{matrix} a - c > (d - b) (d + b) \geq d - b, \end{matrix}

azaz

a + b > c + d

.
Amennyiben pedig

a > c

és

b > d

, akkor

a + b > c + d

nyilvánvalóan teljesül. Ezzel az állítást minden esetben igazoltuk.

Pintér Dömötör (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján